二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转 化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格 林公式。

一般意义下的分部积分公式：

uvd

x =uv - vu dx

证明：

分部积分实际上是把普通积分公式 fd x = f 中的被积函数f 换成了两个函 数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；

把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了 把面积分转换成了线积分(降次)。 格林公式：

Ñ Fdy

Q P x y

证明(以第一个公式为例)： 积分域为 =

(x,y)| a(y) x b(y),c y d

， 如图：

则：

或 udv = uv -vdv

xdy = Ñ

Pdx + Qdy

一般合并写为

=

c

F (x,y) x x

=

=

a

b ((y y )

)

dy

dd

F (b (y),y)dy -

F (a (y),y)dy

=

Ñ

Fdy

类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下 的分部积分。

二重积分的分部积分公式：

f

g x

dxdy = Ñ

(fg )dy -

f

y

g

dxdy = -Ñ

(fg )dx -

证明(以第一个公式为例)：

(fg )

dxdy = Ñ (fg )dy ，

x

即(f

g

x

+g

f x )dxdy =

Ñ

(fg )dy

即

f

g

dxdy =Ñ (fg )dy -

g f dxdy

综上：

把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分 公式；

把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。 且两种分部积分公式在形式上是很相似的：

北航 曾元圆

g f dxdy

x g

f dxdy

y

= Ñ Fdy 中，把 F 换为fg ，则：

uv dx = uv - vu dx 对比 f

x g dxdy = Ñ (fg )dy -

g f dxdy

x