量子信息学引论第12讲
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• 并且, 任意数量的量子位都可通过把它们映射 到系统的无穷多个本征态上来代表。 • 这意味着, 可能在一个谐振子中实现一个完整 的量子计算机。
44
7.3.4 缺点
• 对于某个特定的量子计算，我们可能并不知其 量子计算酉算子的本征值谱。例如：相位估计 算法。 • 不能级联。 • 忽视了信息数字化表示的原则。2n维Hilbert空 n 间映射到单谐振子，有能量 2 的状态。如 用n个双能级量子比特，只需 n。
31
H 本征态的性质
• H的本征态 |n>, n = 0, 1, ….具有性质:
32
练习7.1:
利用 x 和 p 不对易的事实, 即
来证明
33
H本征态的时间演化
• H本征态的时间演化由解Schrodinger 方程 得到, 可发现状态
随时间演变成:
34
Box 7.2 量子谐振子 The quantum harmonic osillator
40
系统演化得到的变换
• 假设 t = 0 时, 系统开始处于由这些基矢态 (|0>, |1>, |2>, |4>) 张成的状态。
• 只是让系统演化时间(即半个周期)
t
这导致能量本征态进行了变换
41
CNOT门实现了吗?
• 从以上演化可知: |0>, |2>, |4> 不变， |1> 变成 -|1>。
• 把此装臵与一个门耦合起来，仅当一个单光子被 探测到时，门才打开． • 通过适当延迟多个下转换源的输出，原则上可得 到多个单光子同步传播．
54
图7.2. 产生单光子的参量下转换
Parametric down-conversion scheme for generation of single photons。
13
7.2.2 酉变换的性能
• 封闭的量子系统根据其Hamiltonian进 行酉演化。 • 但是, 为了执行量子计算,必须能够控 制Hamiltonian, 使其能从一个酉变换 普适集中任选一个。
14
例子: 用单自旋表示的单量子位操作
比如, 一个单自旋可根据Hamiltonian
进行演化, 其中 为可经典控制的参数. 通过适当操纵 和 , 可以执行任意的单 自旋旋转。(参见练习4.10)
45
谐振子量子计算机总结
46
7.4 光子量子计算机
• 7.4.1 物理装臵 • 7.4.2 量子计算 • 7.4.3 缺点
47
7.4.1 物理装置
• 单个光子是什么？ • 它们如何能表示量子位？
• 描述用来操纵光子的实验元件（移相器， 分束器，非线性光学Kerr介质）的经典行 为。
48
用光子表示量子位
• 与量子计算的关系: 从这些能量本征态中可取出一 个有限子集来代表量子位。 • 只要允许系统随时间演化, 既可实行酉变换。 • 下面, 研究系统Hamiltonian, 然后讨论如何实施简 单的量子逻辑门, 如CNOT。
28
7.3.2 Hamiltonian
• 处于一维抛物线势阱中的一个粒子, 其 Hamiltonian为:
10
实现量子计算的DiVinenzo条件
11
7.2.1 量子信息的表示
• 量子位是一个两能级量子系统。 • 作为量子位代表的关键: 可访问的状态数应 为有限的。 • 为了使消相干最小, 一般需要某种对称性。 • 对表示如果选择不当, 则引起消相干。
12
单个量子位的优值
对于单个量子位, 其好坏的判据为其中任 意叠加态的最短寿命。
• 移相器是一个透明的介质片，其折射率n与自由空 间的折射率 不同。
• 在这样一个介质中，传播距离Ｌ对光子的相位改 变为 ， 其中 ， 为真空中的光速。
• 一个简谐振子(simple harmonic oscillator)的例子: 一个处于抛物线势阱中的粒子。
• 经典情形下, 系统总能量是一个连续的参数。 • 量子情形下, 系统与外部世界的耦合变得很弱, 系 统总能量只能取一系列分立值。
27
简谐振子与量子计算的关系
• 一个简谐振子的分立能量本征态的集合, 可用 |n>, n = 0, 1, …….来标签。
35
Box 7.2 量子谐振子(续)
d n x 1 m 2 x 2 n x E n x 2 2m dx 2
2 2
36
进一步假设
(1) 任意状态都可被完美地制备出来。 (2) 系统的状态可被投影测量。 (3) 其余方面, 系统与外界无相互作用, 因而 系统是完全封闭的。
• 在理解一个特定的量子计算机的实现方 法时，关键概念是量子噪声 (quantum noise)，有时称为消相干(或退相干: decoherence)。
7
图7.1. 退相干时间, 操作时间和最大操作数
• 此表中, 根本上不同的量子位只有三类: 自旋(核自旋, 电子自 旋, 离子阱), 电荷(Au, GaAs, 量子点), 光子(光学腔, 微波腔). 8
37
7.3.3 量子计算
• 用上面描述的简谐振子如何进行量子计算?
• 表示量子位的最自然的选择, 是本征态|n>。
• 这种选择允许我们用下面的方法执行CNOT门。
38
CNOT门在两个量子位上执行的映射
• 注意：下标Ｌ用来清楚地区分“逻辑（Logical)” 态 与谐振子的基矢态 |n>。
39
用简谐振子的基矢态 对双量子位进行编码
18
7.2.3 制备基准初态
• 只需能够以高的逼真度(或保真度: fidelity)制 备一个特定的量子态, 因为一个酉变换能把 它转成任意其它需要的输入态。 • 如: |00000> • 有时是困难的。
19
制备基准输入态的优值
(1)初态能制成给定状态 (2)初态
的最小逼真度。
的熵(或: 平均信息量, entropy)。
• 较差的方式：一个腔中含有０个或1个光子 的叠加，用此状态来代表一个量子位。
49
双轨表示( dual-rail)
考虑两个腔，其总能量为 ；把一个量子位 的状态取作光子或者在一个腔中，或者在另一 个腔中 ( |01> 或者 |10> ), 一个叠加态可 写作：
50
单光子的空间模式（mode)
• 实际中，将集中于以波包形式在自由空间 移动的单光子，而非在一个共振腔中。
• 这就实现了CNOT门。
42
物理系统能执行酉变换U的充要条件
• 由H定义的系统的时间演化算子
应具有与U几乎一样的本征值谱.可以直接安排一个 编码来从谐振子的时间演化算子得到同样的本征 值谱。 • 注意: CNOT门的本征值只是+1与-1，所以，它容 易实现。
43
谐振子计算机的能力
• 谐振子的Hamiltonian可被微扰, 从而实现几乎 任何本征值谱。
4
7.1 指导原则
• 量子位要有稳固的物理表示。 • 要能选择一个系统，使得量子位在其中可 按预定步骤演化。 • 必须能把量子位制备成某些特定的初态。 • 要能测量系统的最终输出态。
5
问题
• 以上要求往往是相互冲突的。 • 问题不是如何制作一个量子计算机，而 是能够把一个量子计算机做成多好。
6
量子噪声与消相干
• 此时，可以想象成有一个腔在与波包一起 运动。在我们的量子位状态中，每个腔对 应一个不同的空间模式。
51
产生单光子的一个方案
• 在实验室中，产生单光子的一个方案是衰减激光 的输出。
• 激光输出的一个状态，称作相干态，定义为：
其中|n>为一个n-光子能量本征态。 • 相干态是量子光学的重要研究主题，它是从受驱 振子中自然辐射出来的。
23
测量能力的优值: 信噪比
• 测量能力的优值是信噪比(SNR=Signal to Noise Ratio )。 它决定了测量的有 效性, 也说明了从测量设备与量子系统 的耦合得到的内在信号的强度。
信噪比(S/N)越大，说明混在信号里的噪声 越小；单位用分贝（dB）数表示。
24
7.3 简谐振子量子计算机
7.3 简谐振子量子计算机
7.4 光学光子量子计算机 7.5 光学腔量子电动力学 7.6 离子阱 7.7 核磁共振 7.8 其它实施方案
3
开场白
• 实验上实现量子线路，量子算法和量子通信系 统极其具有挑战性。
• 本章探索一些指导原则和实现量子信息处理器 件与系统的物理模型。 • 简要描述实现量子计算的物理装臵，决定其动 力学的Hamiltonian，控制系统执行量子计算的 办法，及其主要缺点。 • 总结与量子计算和量子信息有关的概念，使我 们能同时欣赏其实验挑战和理论潜力。
量子信息学引论
Introduction to Quantum Information Science
第12讲
清华大学 2012.12.5
1
考试
时间：2010年12月29日
方式：开卷 地点：待定 去年考题上传网络课堂
第七章
量子计算机的物理实现
本章采用实验中已经成功实现的例子，讲解量子 计算机的一般设计原则与物理实现的满意判据。 7.1 指导原则 7.2 量子计算的条件
55
单光子探测
• • • • • 量子效率 响应带宽（时间响应率） 噪声 暗计数 抖动
操纵单光子态的三个重要器件
• 镜子：用高反射率的镜子来反射光子， 改变其空间传播方向（通常损耗小于 0.01%)。 • 移相器（phase shifter)。 • 分束器（beam splitter)。
57
移相器
15
练习4.10: 旋转的X-Y分解
16
对单比特的寻址
• 任意酉变换可由单自旋运算和控制非门组 成 • 要实现量子计算，必须能够对单个比特进 行独立的操作。
17
酉变换的两个重要的特性
(1) 最小可达到的保真度F (fidelity)。 (详见第9章)。 (2) 执行量子逻辑门(如:单量子位旋转 或CNOT门)所需的最长时间。
7.2 量子计算的条件
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
量子信息的表示 酉变换的性能 制备基准初态 测量输出结果
9
量子计算的基本要求
(1) 具有鲁棒(robustness)的量子位来代表 量子信息。 (2) 具有执行酉变换的一个普适集。 (3) 能够制备一个基准的初态。 (4) 能够测量输出结果。
22
强测量和弱测量
• 测量有强测量和弱测量之分。
• 强测量: 投影测量有时也称强测量, 要求量子与经 典系统之间的耦合大, 且可开关, 不需要时, 测量不 应发生; 否则, 它们能成为一个消相干过程。 • 强测量并不是必需的。 • 弱测量: 在执行时是连续的且永不会关掉。与测量 耦合相比, 可用很短的时间完成计算操作。也可采 用量子计算机的大系综来实现（NMR)。
其中, p 为粒子动量算符, m为质量, x为位臵 算符, 与势阱深度有关。
29
Hamiltonian: 产生和湮灭算符形式
• 定义湮灭算符 和产生算符Fra Baidu bibliotek如下:
• Hamiltonian可被重写为:
30
零点能
• 零点能
贡献了一个不可观测的整体相位因子, 可从 目前的讨论中略去。 • 注意: H中的和项, 在酉变换中为一指数相位 因子。
20
熵(或: 平均信息量) entropy
• 熵是一个重要概念。
• 例如, 很容易以高逼真度制备状态
但是, 这对于量子计算是无用的状态, 因为它在酉 变换下不变! • 理想的输入态是一个纯态, 具有零熵。 • 具有非零熵的输入态减少了从输出结果取得答案 的能力。
21
7.2.4 测量输出结果
• 把测量考虑成把一个或多个量子位耦 合到一个经典系统, 使得一段时间后, 量子位的状态由经典系统指示出来。 • 量子计算测量过程的一个重要特征是 波函数的塌缩, 它描述了当执行一个 投影测量时发生了什么。
7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 物理装臵 Hamiltonian 量子计算 缺点
25
研究简谐振子量子计算机的目的
• 先考虑一个非常基本的系统 : 简谐振子, 并讨论它为何不能成为一个好的量子计 算机。 • 此例用到的形式化体系, 也可作为研究其 它物理系统的基础。
26
7.3.1 物理装置
52
弱相干单光子源
• 当激光被衰减后，一个相干态变成一个更弱的相 干态。
• 而一个弱相干态可以高概率制成仅含一个光子。
• 例如，对于
，我们得到状态：
• 缺点：两个这样的单光子源难以同步。
53
用参量下转换实现更好的同步性 parametric down-conversion
• 把频率为 的光子送到一个非线性介质中，如 KH2PO4, 来产生频率为 的光子对时, 动量也守恒，所以，当一个光子被 探测到时，也知道另一个单光子存在．
44
7.3.4 缺点
• 对于某个特定的量子计算，我们可能并不知其 量子计算酉算子的本征值谱。例如：相位估计 算法。 • 不能级联。 • 忽视了信息数字化表示的原则。2n维Hilbert空 n 间映射到单谐振子，有能量 2 的状态。如 用n个双能级量子比特，只需 n。
31
H 本征态的性质
• H的本征态 |n>, n = 0, 1, ….具有性质:
32
练习7.1:
利用 x 和 p 不对易的事实, 即
来证明
33
H本征态的时间演化
• H本征态的时间演化由解Schrodinger 方程 得到, 可发现状态
随时间演变成:
34
Box 7.2 量子谐振子 The quantum harmonic osillator
40
系统演化得到的变换
• 假设 t = 0 时, 系统开始处于由这些基矢态 (|0>, |1>, |2>, |4>) 张成的状态。
• 只是让系统演化时间(即半个周期)
t
这导致能量本征态进行了变换
41
CNOT门实现了吗?
• 从以上演化可知: |0>, |2>, |4> 不变， |1> 变成 -|1>。
• 把此装臵与一个门耦合起来，仅当一个单光子被 探测到时，门才打开． • 通过适当延迟多个下转换源的输出，原则上可得 到多个单光子同步传播．
54
图7.2. 产生单光子的参量下转换
Parametric down-conversion scheme for generation of single photons。
13
7.2.2 酉变换的性能
• 封闭的量子系统根据其Hamiltonian进 行酉演化。 • 但是, 为了执行量子计算,必须能够控 制Hamiltonian, 使其能从一个酉变换 普适集中任选一个。
14
例子: 用单自旋表示的单量子位操作
比如, 一个单自旋可根据Hamiltonian
进行演化, 其中 为可经典控制的参数. 通过适当操纵 和 , 可以执行任意的单 自旋旋转。(参见练习4.10)
45
谐振子量子计算机总结
46
7.4 光子量子计算机
• 7.4.1 物理装臵 • 7.4.2 量子计算 • 7.4.3 缺点
47
7.4.1 物理装置
• 单个光子是什么？ • 它们如何能表示量子位？
• 描述用来操纵光子的实验元件（移相器， 分束器，非线性光学Kerr介质）的经典行 为。
48
用光子表示量子位
• 与量子计算的关系: 从这些能量本征态中可取出一 个有限子集来代表量子位。 • 只要允许系统随时间演化, 既可实行酉变换。 • 下面, 研究系统Hamiltonian, 然后讨论如何实施简 单的量子逻辑门, 如CNOT。
28
7.3.2 Hamiltonian
• 处于一维抛物线势阱中的一个粒子, 其 Hamiltonian为:
10
实现量子计算的DiVinenzo条件
11
7.2.1 量子信息的表示
• 量子位是一个两能级量子系统。 • 作为量子位代表的关键: 可访问的状态数应 为有限的。 • 为了使消相干最小, 一般需要某种对称性。 • 对表示如果选择不当, 则引起消相干。
12
单个量子位的优值
对于单个量子位, 其好坏的判据为其中任 意叠加态的最短寿命。
• 移相器是一个透明的介质片，其折射率n与自由空 间的折射率 不同。
• 在这样一个介质中，传播距离Ｌ对光子的相位改 变为 ， 其中 ， 为真空中的光速。
• 一个简谐振子(simple harmonic oscillator)的例子: 一个处于抛物线势阱中的粒子。
• 经典情形下, 系统总能量是一个连续的参数。 • 量子情形下, 系统与外部世界的耦合变得很弱, 系 统总能量只能取一系列分立值。
27
简谐振子与量子计算的关系
• 一个简谐振子的分立能量本征态的集合, 可用 |n>, n = 0, 1, …….来标签。
35
Box 7.2 量子谐振子(续)
d n x 1 m 2 x 2 n x E n x 2 2m dx 2
2 2
36
进一步假设
(1) 任意状态都可被完美地制备出来。 (2) 系统的状态可被投影测量。 (3) 其余方面, 系统与外界无相互作用, 因而 系统是完全封闭的。
• 在理解一个特定的量子计算机的实现方 法时，关键概念是量子噪声 (quantum noise)，有时称为消相干(或退相干: decoherence)。
7
图7.1. 退相干时间, 操作时间和最大操作数
• 此表中, 根本上不同的量子位只有三类: 自旋(核自旋, 电子自 旋, 离子阱), 电荷(Au, GaAs, 量子点), 光子(光学腔, 微波腔). 8
37
7.3.3 量子计算
• 用上面描述的简谐振子如何进行量子计算?
• 表示量子位的最自然的选择, 是本征态|n>。
• 这种选择允许我们用下面的方法执行CNOT门。
38
CNOT门在两个量子位上执行的映射
• 注意：下标Ｌ用来清楚地区分“逻辑（Logical)” 态 与谐振子的基矢态 |n>。
39
用简谐振子的基矢态 对双量子位进行编码
18
7.2.3 制备基准初态
• 只需能够以高的逼真度(或保真度: fidelity)制 备一个特定的量子态, 因为一个酉变换能把 它转成任意其它需要的输入态。 • 如: |00000> • 有时是困难的。
19
制备基准输入态的优值
(1)初态能制成给定状态 (2)初态
的最小逼真度。
的熵(或: 平均信息量, entropy)。
• 较差的方式：一个腔中含有０个或1个光子 的叠加，用此状态来代表一个量子位。
49
双轨表示( dual-rail)
考虑两个腔，其总能量为 ；把一个量子位 的状态取作光子或者在一个腔中，或者在另一 个腔中 ( |01> 或者 |10> ), 一个叠加态可 写作：
50
单光子的空间模式（mode)
• 实际中，将集中于以波包形式在自由空间 移动的单光子，而非在一个共振腔中。
• 这就实现了CNOT门。
42
物理系统能执行酉变换U的充要条件
• 由H定义的系统的时间演化算子
应具有与U几乎一样的本征值谱.可以直接安排一个 编码来从谐振子的时间演化算子得到同样的本征 值谱。 • 注意: CNOT门的本征值只是+1与-1，所以，它容 易实现。
43
谐振子计算机的能力
• 谐振子的Hamiltonian可被微扰, 从而实现几乎 任何本征值谱。
4
7.1 指导原则
• 量子位要有稳固的物理表示。 • 要能选择一个系统，使得量子位在其中可 按预定步骤演化。 • 必须能把量子位制备成某些特定的初态。 • 要能测量系统的最终输出态。
5
问题
• 以上要求往往是相互冲突的。 • 问题不是如何制作一个量子计算机，而 是能够把一个量子计算机做成多好。
6
量子噪声与消相干
• 此时，可以想象成有一个腔在与波包一起 运动。在我们的量子位状态中，每个腔对 应一个不同的空间模式。
51
产生单光子的一个方案
• 在实验室中，产生单光子的一个方案是衰减激光 的输出。
• 激光输出的一个状态，称作相干态，定义为：
其中|n>为一个n-光子能量本征态。 • 相干态是量子光学的重要研究主题，它是从受驱 振子中自然辐射出来的。
23
测量能力的优值: 信噪比
• 测量能力的优值是信噪比(SNR=Signal to Noise Ratio )。 它决定了测量的有 效性, 也说明了从测量设备与量子系统 的耦合得到的内在信号的强度。
信噪比(S/N)越大，说明混在信号里的噪声 越小；单位用分贝（dB）数表示。
24
7.3 简谐振子量子计算机
7.3 简谐振子量子计算机
7.4 光学光子量子计算机 7.5 光学腔量子电动力学 7.6 离子阱 7.7 核磁共振 7.8 其它实施方案
3
开场白
• 实验上实现量子线路，量子算法和量子通信系 统极其具有挑战性。
• 本章探索一些指导原则和实现量子信息处理器 件与系统的物理模型。 • 简要描述实现量子计算的物理装臵，决定其动 力学的Hamiltonian，控制系统执行量子计算的 办法，及其主要缺点。 • 总结与量子计算和量子信息有关的概念，使我 们能同时欣赏其实验挑战和理论潜力。
量子信息学引论
Introduction to Quantum Information Science
第12讲
清华大学 2012.12.5
1
考试
时间：2010年12月29日
方式：开卷 地点：待定 去年考题上传网络课堂
第七章
量子计算机的物理实现
本章采用实验中已经成功实现的例子，讲解量子 计算机的一般设计原则与物理实现的满意判据。 7.1 指导原则 7.2 量子计算的条件
55
单光子探测
• • • • • 量子效率 响应带宽（时间响应率） 噪声 暗计数 抖动
操纵单光子态的三个重要器件
• 镜子：用高反射率的镜子来反射光子， 改变其空间传播方向（通常损耗小于 0.01%)。 • 移相器（phase shifter)。 • 分束器（beam splitter)。
57
移相器
15
练习4.10: 旋转的X-Y分解
16
对单比特的寻址
• 任意酉变换可由单自旋运算和控制非门组 成 • 要实现量子计算，必须能够对单个比特进 行独立的操作。
17
酉变换的两个重要的特性
(1) 最小可达到的保真度F (fidelity)。 (详见第9章)。 (2) 执行量子逻辑门(如:单量子位旋转 或CNOT门)所需的最长时间。
7.2 量子计算的条件
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
量子信息的表示 酉变换的性能 制备基准初态 测量输出结果
9
量子计算的基本要求
(1) 具有鲁棒(robustness)的量子位来代表 量子信息。 (2) 具有执行酉变换的一个普适集。 (3) 能够制备一个基准的初态。 (4) 能够测量输出结果。
22
强测量和弱测量
• 测量有强测量和弱测量之分。
• 强测量: 投影测量有时也称强测量, 要求量子与经 典系统之间的耦合大, 且可开关, 不需要时, 测量不 应发生; 否则, 它们能成为一个消相干过程。 • 强测量并不是必需的。 • 弱测量: 在执行时是连续的且永不会关掉。与测量 耦合相比, 可用很短的时间完成计算操作。也可采 用量子计算机的大系综来实现（NMR)。
其中, p 为粒子动量算符, m为质量, x为位臵 算符, 与势阱深度有关。
29
Hamiltonian: 产生和湮灭算符形式
• 定义湮灭算符 和产生算符Fra Baidu bibliotek如下:
• Hamiltonian可被重写为:
30
零点能
• 零点能
贡献了一个不可观测的整体相位因子, 可从 目前的讨论中略去。 • 注意: H中的和项, 在酉变换中为一指数相位 因子。
20
熵(或: 平均信息量) entropy
• 熵是一个重要概念。
• 例如, 很容易以高逼真度制备状态
但是, 这对于量子计算是无用的状态, 因为它在酉 变换下不变! • 理想的输入态是一个纯态, 具有零熵。 • 具有非零熵的输入态减少了从输出结果取得答案 的能力。
21
7.2.4 测量输出结果
• 把测量考虑成把一个或多个量子位耦 合到一个经典系统, 使得一段时间后, 量子位的状态由经典系统指示出来。 • 量子计算测量过程的一个重要特征是 波函数的塌缩, 它描述了当执行一个 投影测量时发生了什么。
7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 物理装臵 Hamiltonian 量子计算 缺点
25
研究简谐振子量子计算机的目的
• 先考虑一个非常基本的系统 : 简谐振子, 并讨论它为何不能成为一个好的量子计 算机。 • 此例用到的形式化体系, 也可作为研究其 它物理系统的基础。
26
7.3.1 物理装置
52
弱相干单光子源
• 当激光被衰减后，一个相干态变成一个更弱的相 干态。
• 而一个弱相干态可以高概率制成仅含一个光子。
• 例如，对于
，我们得到状态：
• 缺点：两个这样的单光子源难以同步。
53
用参量下转换实现更好的同步性 parametric down-conversion
• 把频率为 的光子送到一个非线性介质中，如 KH2PO4, 来产生频率为 的光子对时, 动量也守恒，所以，当一个光子被 探测到时，也知道另一个单光子存在．