例谈三角形面积的向量方法

例谈三角形面积的向量方法

向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以

得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用．

公式 ABC ∆中，若向量CB a =，CA b =，则22

21

()2

ABC

S a b a b ∆=-⋅．

证明 1

sin ,2

ABC

S a b a b ∆=<>2

2

2

1(1cos ,)2a b a b =

-<>2

2

21

()2

a b a b =

-⋅．

１．利用公式求三角形的面积．

例1．已知ABC ∆，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ∆的面积．

解：∵(3,1)AB =，(2,4)AC =，∴2

10AB =，2

20AC =，10AB AC ⋅=， ∴22

21()2

ABC

S AB AC AB AC ∆=-⋅1

102010052

=

⨯-=． 例2．已知ABC ∆中，向量00(cos 23,cos 67)BA =，00(2cos 68,2cos 22)BC =，求ABC ∆的

面积．

解：由已知，得00(cos 23,sin 23)BA =，00

(2sin 22,2cos 22)BC =，∴1BA =，2BC =，

∴00002(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ⋅=+0

2sin 452==

∴22

21()2

ABC

S BC BA BC BA ∆=-⋅2=

２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412

x ππ

∈-

，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最值．

解：22

21()2

OPQ S OP OQ OP OQ ∆=

-⋅211(2sin cos )2x x =

-211sin 22x =-1cos 22

x =．

∵[,

]2412x ππ

∈-， ∴当12

x π

=

时，OPQ ∆3

0x =时，OPQ ∆面积的最大值为

12

． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．

例4.已知OAB ∆中,OA a =，OB b =，且3,2a b a b +=-=，求OAB ∆面积的最大值．

解：∵3,2a b a b +=-=，∴2229a a b b +⋅+=，22

24a a b b -⋅+=，解得54

a b ⋅=

， 22

13

2

a b +=

，∴22

21()2OAB S a b a b ∆=

-⋅221

252

16a b =

-2

221252216a b ⎛⎫

+ ⎪≤

- ⎪ ⎪

⎝⎭

32=，当且仅当13

2

a b ==

时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα==，(cos ,sin )OB b ββ==，a 与b 之间有关系式

3ka b a kb +=-，（0k >，且23k ≠±，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值，并求

此时a 与b 的夹角θ．

解：将3ka b a kb +=-两边平方，得2222

2223(2)k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+

∵1a b ==，∴22

213(12)k ka b ka b k +⋅+=-⋅+，又∵0k >，∴111()42

a b k k ⋅=

+≥， 当且仅当1k =时取“=”号．∴22

21

()2

AOB

S a b a b ∆=-⋅21

1()2

a b =

-⋅11124≤-3= ∴AOB ∆面积的最大值为

34，此时12a b ⋅=，∴1cos 2a b a b

θ⋅==，∵000180θ<<，∴0

60θ=．

新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以

上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．