三角形面积的向量方法
三角形面积的向量方法
向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应
用.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景.
公式 ABC ?中,若向量CB a = ,CA b = ,则ABC S ?=
证明 1sin ,2ABC
S a b a b ?=<> ==
1.利用公式求三角形的面积.
例1.已知ABC ?,点(1,1)A ,(4,2)B ,(3,5)C ,求ABC ?的面积.
解:∵(3,1)AB = ,(2,4)AC =
,∴210AB = ,220AC = ,10AB AC ?= ,
∴ABC
S ?=5==. 例2.已知ABC ?中,向量00
(cos23,cos67)BA = ,00(2cos68,2cos22)BC = ,求ABC ?的
面积.
解:由已知,得00(cos23,sin 23)BA = ,00
(2sin 22,2cos22)BC = ,∴1BA = ,2BC = ,
∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0
2sin 45==
∴ABC
S ?==.
2.利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值.
例3.平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ,(cos ,sin )Q x x ,[,]2412
x ππ
∈-,O 为坐标原点,求OPQ ?面积的最值.
解:OPQ
S ?===1
cos 22
x =.
∵[,
]2412x ππ
∈-, ∴当12
x π
=
时,OPQ ?
面积的最小值为
4
;当0x =时,OPQ ?面积的最大值为
12
. 3.利用公式和均值不等式求三角形面积最值.
例4.已知OAB ?中,OA a = ,OB b = ,且3,2a b a b +=-=
,求OAB ?面积的最大值.
解:∵3,2a b a b +=-= ,∴2229a a b b +?+= ,22
24a a b b -?+= ,解得54
a b ?= ,
22132a b +=
,∴OAB S ?=
=
≤3
2=,
当且仅当a b == 时,取“=”号.
例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ,(cos ,sin )OB b ββ==
,a 与b 之间有关系
式
ka b kb +=- ,(0k >
,且2k ≠,O 为坐标原点,求AOB ?面积的最大值,并求
此时a 与b
的夹角θ.
解:将ka b kb +=- 两边平方,得222222
23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+
∵1a b == ,∴2
2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ,又∵0k >,∴111()42a b k k ?=+≥ ,
当且仅当1k =时取“=
”号.∴AOB S ?=
=
≤
4= ∴AOB ?
此时12a b ?= ,∴1c o s 2
a b a b θ?==
,∵000180θ<<,∴0
60θ=.
最全面的三角形面积公式
最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中,向量 OA a =uu r r ,OB b =u u u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。
特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++,则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值
三角形面积的向量方法
三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用.三角形是平面几何中最基本、最重要的图形.向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景. 公式 ABC ?中,若向量CB a = ,CA b = ,则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == 1.利用公式求三角形的面积. 例1.已知ABC ?,点(1,1)A ,(4,2)B ,(3,5)C ,求ABC ?的面积. 解:∵(3,1)AB = ,(2,4)AC = ,∴210AB = ,220AC = ,10AB AC ?= , ∴ABC S ?=5==. 例2.已知ABC ?中,向量00 (cos23,cos67)BA = ,00(2cos68,2cos22)BC = ,求ABC ?的 面积. 解:由已知,得00(cos23,sin 23)BA = ,00 (2sin 22,2cos22)BC = ,∴1BA = ,2BC = , ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==. 2.利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值. 例3.平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ,(cos ,sin )Q x x ,[,]2412 x ππ ∈-,O 为坐标原点,求OPQ ?面积的最值. 解:OPQ S ?===1 cos 22 x =.
∵[, ]2412x ππ ∈-, ∴当12 x π = 时,OPQ ? 面积的最小值为 4 ;当0x =时,OPQ ?面积的最大值为 12 . 3.利用公式和均值不等式求三角形面积最值. 例4.已知OAB ?中,OA a = ,OB b = ,且3,2a b a b +=-= ,求OAB ?面积的最大值. 解:∵3,2a b a b +=-= ,∴2229a a b b +?+= ,22 24a a b b -?+= ,解得54 a b ?= , 22132a b += ,∴OAB S ?= = ≤3 2=, 当且仅当a b == 时,取“=”号. 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ,(cos ,sin )OB b ββ== ,a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ,(0k > ,且2k ≠,O 为坐标原点,求AOB ?面积的最大值,并求 此时a 与b 的夹角θ. 解:将ka b kb +=- 两边平方,得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ,∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ,又∵0k >,∴111()42a b k k ?=+≥ , 当且仅当1k =时取“= ”号.∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ,∴1c o s 2 a b a b θ?== ,∵000180θ<<,∴0 60θ=.
三角形、平行四边形面积的向量公式
1 三角形、平行四边形面积的向量公式 提到三角形的面积,C ab ah S sin 2 121==应该算最为简捷的两个,尤其是后者,在已知三角形的两边 及其夹角(正弦值)的条件下求三角形面积,常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事.下面我们通过 一道高考题,伺机请出三角形面积公式的向量代言人. 引例 (2010年高考辽宁卷8)平面上B A O ,,三点不共线,设=OA a ,=OB b ,则OAB ?的面积等 于( ) A .222)(||||b a b a ?- B .222)(||||b a b a ?+ C .222)(||||21b a b a ?- D .222)(||||2 1b a b a ?+ 解:)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=?=?=-=C b a b a 22222cos ||||||||2 1 222)(||||2 1b a b a ?-.选C . 因为2222||,||b b a a ==,所以上述公式还可以化为222)(2 1b a b a ?-,意识到没有,之所以写成选项中的形式,可能是怕有同学误认为222)(ab b a =,随手接着一化,得OAB ?的面积等于0!然后开始怀疑人生. 其实这道高考题是有渊源的,现在让它卸了妆,它就变成这样子:已知ABC ?中,=a ,=b ,试用b a ,的向量运算式子表示ABC ?的面积,即=?ABC S ____________________.它是谁?它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题.好尴尬呀,说出去的话泼出去的水,悔不该揭它老底儿! 上述公式便是三角形面积的向量代言人之一,当题目含有公式需要的向量条件时,可考虑让它出手. 例1 (2012年全国高中数学联赛5)在ABC ?中,若7=? 6=-,则ABC ?面积的最大值为 . 分析:因为7=?,所以只需求出||||?的最大值即可. 解:6=-两边平方,得362||||22=?-+,所以50||||22=+,所以(2 1||||≤?25)||||22=+,当且仅当5||||==时,等号成立. 所以ABC ?面积的最大值为127252 122=-. 评注:本例还可以用几何法求解:记BC 的中点为M ,则() +=21,
向量方法和解三角形
向量方法和解三角形 一、向量方法 1.已知ABC ?,若对任意R t ∈,BA tBC AC -≥ ,则ABC ?一定为 A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .斜三角形 2.已知,a b 是单位向量,且,a b 的夹角为3 π,若向量c 满足|2|2c a b -+= ,则||c 的最大值为( ) A.2 2 2 2 3.M 是ABC ?所在平面上的一点,且D ,23 23=++是AC 中点, 的值为( ) A. 13 B.1 2 C.1 D.2 4.如图所示,A 、B 、C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC = xOA yOB + ,则 ( ) A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+< 5.在圆O 中,若弦6AB =,弦10AC =,则AO ·BC 的值是 A.-16 B .-2 C .32 D .16 6.在四边形ABCD 中,13 DC AB = ,E 为BC 的中点,且AE x AB y AD =?+? , 则32x y -= . 7.如图,ABC ? 是边长为P 是以C 为圆心,1为半径的圆上 的任意一点,则AP BP = 8.在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 为以A 为圆心,AB 为半径的圆弧上的任 意一点,设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC . 9.已知点P 在△ABC 所在的平面内,若2PA +3PB +4PC =3AB ,则△PAB 与 △PBC 的面积的比值为__________. 10.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===,动点P 在BCD 内运动(含边界),设AP AD AB αβ=+ ,则αβ+的最大值是 . E D C B A P B A C
三角形的面积计算公式
三角形的面积计算公式 三角形的面积计算公式1.已知三角形底a,高h,则 S=ah/22.已知三角形三边a,b,c,则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 (2019高考)数学考点分类解析
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用 高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线,设b OB a OA ==,,则OAB ?的面积等于( ) A.2 2 2)(b a b a ?- B.2 2 2)(b a b a ?+ C.22 2)(21b a b a ?- D. 22 2)(2 1 b a b a ?+ 答案:C. 这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式: 定理1 若三点B A O ,,不共线,则22 2)(2 1 OB OA OB OA S OAB ?-=?. 证明 22 22)(2 1cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ?-=∠-= ?. 由此结论,还可证得 定理2 若三点B A O ,,不共线,且点O 是坐标原点,点B A ,的坐标分别是 ),(),,(2211y x y x ,则12212 1 y x y x S OAB -= ?. 证法1 由定理1,得 1221221212 22221212 1)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++= ? 证法2 可得直线AB 的方程是 0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y 所以坐标原点O 到直线AB 的距离是 AB y x y x 1 221-,进而可得AOB ?的面积是 122112212121 y x y x AB y x y x AB S OAB -=-?= ?. 下面用定理2来简解10道高考题. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA →·OB → =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A .2 B .3 C.172 8 D.10 解 B.得?? ? ??0,41F ,可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>. 由2212 2212121=+=+=?y y y y y y x x OB OA ,可得221-=y y ,所以由定理2,得 2121212112 222112212 12121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-?=-=-= ? 所以
最全面的三角形面积公式
最全面的三角形面积公式 河北邯郸 贾敬堂 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AO B 中,向量 O A a =uur r ,O B b =uu u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y ,
则三角形面积11223 3 1 112 1 x y S x y x y = 的绝对值12233113213212 x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积122112S x y x y = -。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 A B c B C a C A b p a b c ====++,则 三角形面积S = 。 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B = = = ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 2sin() 2sin() 2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C = = = +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2 sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值