最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式

河北邯郸 贾敬堂

一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则

三角形面积S= 底 ⨯ 高 ÷2 2

ah

=

B

实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。

②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2

lr S =

③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R

=

④已知三角形AOB 中，向量OA a =，OB b =，则三角形面积222||||()S a b a b =-。

此公式也适用于空间三角形求面积。

⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ，

33C(,)x y ,

则三角形面积11223

31

1121

x y S x y x y =

的绝对值1223311321321

2

x y x y x y x y x y x y =++---。 特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211

2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1

,,,()2

AB c BC a CA b p a b c ====++，则

三角形面积S

我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。

S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为

111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===

⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为

222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin()

c A B b A C a B C S A B A C B C ===+++

⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为

2sin()sin 2sin a A B B S A

+=

⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,),

(,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。

则三角形面积212121313131

11

22

i j k

S AB AC x x y y z z x x y y z z =⨯=------的绝对值