三角形面积公式的向量形式及其应用举例

当且仅当 ｋ ＝ １ 时等号成立 ． ３ 即ｋ ＝ １ 时 ， Ａ Ｂ 的面积取得最大值槡 ． △Ｏ ４ ２ ｘ ２ 例 ３ 已知 Ａ， Ｂ 是椭圆Ｃ： ＋ｙ ＝ １ 上两 ４ １ 试 个动点 ， 且直线 Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ 的斜率之积等于 － ， ４ 探求 △Ｏ 并说明理由 ． Ａ Ｂ 的面积是否为定值 ， 分析 设动点 Ａ， Ｂ 的坐标分别为 Ａ （ ２ ｃ ｏ ｓ α， ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ α β ， ， 则 由ｋ ｓ ｉ ｎ Ｂ（ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｋ α） Ｏ Ａ· Ｏ Ｂ ＝ β， β） ４ ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ α β １ 得， ， （ ） ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓα－ ． ＝－ α α β＋ β＝０ 即ｃ β ＝０ ４ 由三角形面积公式得 １ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｜２ α α｜ β－２ β ２ （ ） ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ α α｜ α－β ＝ ｜ ｜ ＝ ｜ β－ｃ β ＝ １． 评注 本题结论可推广到更为一般的情况 ： ２ ２ ｘ （ ） 若 Ａ， 上两个 Ｂ 是椭圆Ｃ：２ ＋ｙ ２ ＝ １ ａ ＞ｂ ＞ ０ ａ ｂ ２ ｂ 动点 ， 且直线 Ｏ 则 Ａ， Ｏ Ｂ 的 斜 率 之 积 等 于 － ２， ａ １ Ａ Ｂ 的面积为定值 ａ ｂ． △Ｏ ２ Ａ → ２ Ｂ → 例 ４ 设 Ｏ 点在 △Ａ 且Ｏ Ｂ Ｃ 内部 ， ＋ Ｏ ＋ → ３Ｏ Ｃ ＝ ０，则 △Ｏ Ａ Ｃ 与 △Ａ Ｂ Ｃ 的面积之比 为 ． Ａ → → ， ， 分析 设Ｏ 则 ｘ Ｏ Ｃ＝（ ｘ ＝（ ｙ ｙ １， １） ２， ２）
１ → ３ → Ｂ → Ｏ Ａ－ Ｏ Ｃ ＝－ Ｏ ２ ２ １ ３ ， １ ３ ） ｘ ＝（ － ｘ ｙ ｙ １－ ２ － １－ ２ ， ２ ２ ２ ２ Ｂ → Ｏ → Ａ → Ａ ＝ Ｂ －Ｏ ３ ３ ， ３ ３ ） ｘ ＝（ － ｘ ｙ ｙ １－ ２ － １－ ２ ， ２ ２ ２ ２ → → Ａ → Ａ Ｃ Ｃ －Ｏ ｘ ． ＝Ｏ ＝（ ｙ ２ －ｘ １， ２ －ｙ １） 由三角形面积公式得 １ ， ｜ｘ ｙ ｙ １ ２ －ｘ ２ １｜ ２ １ ３ ３ ） Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｜（ ｘ ｘ － ｘ －（ ｙ ｙ １－ ２ （ ２－ １） ２ ２ ２ ２ ３ ３ ） ３ （ －ｘ － ｙ ｜ｘ ｙ ｙ ｙ １） １－ ２ ｜＝ １ ２ －ｘ ２ １ ｜． ２ ２ ２ Ｓ 所以 ， △ＯＡＣ ＝ １ ． Ｓ△ＡＢＣ ３ 评注 本题的解法多种多样 ， 但运用三角形 面积公式的向量形式解决 ， 思路更为简洁 ．
１ → → → → ２ ２ ２ · Ｂ｜ Ｃ｜ Ａ Ｂ·Ａ Ｃ） ． ｜Ａ ｜Ａ －（ 槡 ２ 证明 因为
１ → · → · Ｂ → →， Ｂ｜ ｜Ａ Ｃ｜ ｓ ｉ ｎ＜ Ａ Ａ Ｃ＞ ｜Ａ ２ Ｂ → ·Ａ → ２ （ １ → · → · Ａ Ｃ） Ｂ｜ ｜Ａ Ｃ｜ １－ → ２ ＝ ｜Ａ → ２ ２ Ｂ｜ · Ｃ｜ ｜Ａ ｜Ａ
（ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ３－０ ６－２ ０
三角形面积公式的向量形式及其应用举例
朱贤良
（ ） 安徽省枞阳县会宫中学 ， ２ ４ ６ ７ ４ ０
平面向 量 作 为 一 种 工 具 ， 在解题时有着广泛 的应用 ． 新课程高考考试 大 纲 对 此 明 确 要 求 ： 会用 向量方法解决 某 些 简 单 的 平 面 几 何 问 题 ， 会用向 量方法 解 决 简 单 的 力 学 问 题 与 其 他 一 些 实 际 问 本文利用平面向量知 识 ， 推导三角形面积公式 题． 的向量形式 ， 并举例说明其应用 ． １．三角形面积公式的向量形式 公式 １ △Ａ Ｂ Ｃ 的面积
ｘ 以 ｇ（ 故ｅ 当且仅当 ｘ ＝ ｘ） ≥ ０ 恒成立 ， ≥ ｘ＋１， 时取等号 ０ ． ｘ （ ） 当 ｘ ＞－１时 ， 由ｅ ｎ ｘ＋１ ≥ｘ＋１可得ｌ ≤ ， ： ， （ ） 当 ｘ 从而可得 当 ｘ ＞－２ 时 ｌ ｎ ｘ＋２ ≤ ｘ＋１， 且仅当 ｘ ＝－１ 时取等号 ． ｘ （ ） 因此 ， ｅ ｎ ｘ ＋２ ． ≥ ｘ ＋１ ≥ｌ 注意到 两 个 等 号 成 立 的 条 件 不 一 致 ， 所以可 ｘ （ ） ， 即不等式 ① 成立 ． 得ｅ ＞ｌ ｎ ｘ ＋２ ， 因此 当 ｍ ≤ ２ 时 ， ｘ）＞ ０． ｆ（ ｘ （ ） 评 注 不等式ｅ ≥ｘ＋１及其变式ｌ ｎ ｘ＋１ 在人民教育出版 ≤ｘ 是 两 个 重 要 的 基 本 不 等 式， 》 社普通高中课程标准实验教科书 《 数学选修 ２—２ ｘ 的习题中就已经要求证明不等式ｅ 从这 ≥ ｘ＋１． ， （ ） 个意义上来说 上 面 的 第 Ⅱ 小 题 应 该 是 来 源 于 ｘ （ ）≤ 不等式ｅ 课本的 ． ｎ ｘ ＋１ ≥ ｘ ＋１ 及其变式ｌ 值得注意 ． ｘ 已经多次在各种大型考试中考查过 ，
小题的严格证明 ．
， （ 另证 当ｍ ≤２ 时， ｘ∈ （ ｌ ｎ ｘ＋ｍ） －ｍ， ＋ ∞） （ ） ， ： ， （ ） ， 故只须证明 当 时 即 ｌ ｎ ｘ ２ ｍ ２ ｘ ＋ ＝ ｆ ≤ ＞０ ｘ （ ） ｅ ＞ｌ ｎ ｘ ＋２ ① ｘ ｘ ） ， （ ） ， 设 ｇ（ 则 ｘ ＝ｅ －ｘ－１ ｇ ′ ｘ ＝ｅ －１ ｘ ＝ ０时ｇ ′（ ｘ） ｘ ＞０时ｇ ′（ ｘ） ｘ ＜０时ｇ ′（ ｘ） ＝０， ＞０， ， （ ） （ ， ） ， ＜０ 故ｇ ｘ 的单调递增区间为 ０ ＋ ∞ 单调递 ） ， ］ （ ） 从而 ［ 所 减 区间为 （ ０ ｘ） ０ － ∞， ＝０， ｇ（ ｍ ｉ ｎ ＝ｇ
ｘ ＋１ 的上方 ． ｘ （ ） ， 因此 ， 且两个等号不 ｅ ｎ ｘ ＋２ ≥ ｘ ＋１ ≥ｌ ｘ （ ） 能同时取得 ， 所以ｅ ｎ ｘ ＋２ ． ＞ｌ ｘ ： 评 注 直线ｌ ｙ ＝ ｘ＋１ 是曲线 Ｃ： ｙ ＝ｅ 和 （ ） 的隔离直线 ， 这应该是不等 曲 线Ｃ ｎ ｘ＋２ ｙ ＝ｌ ２： 式 ① 的几何背景 ． 实际上 ， 我们也可以从另外一个角度来分析 如果将直线ｌ 不等式 ① 的几何背景 ： ｙ ＝ ｘ 向下 １： 平移 ， 必有一个时刻 ， 所得直线与曲线 Ｃ ｎ ｘ ｙ ＝ｌ １： 相切 ， 易求得 切 线 方 程 为 ｙ ＝ ｘ －１； 如果将直线 必有一个时刻 ， 所得直线与曲 ｌ ｙ ＝ ｘ 向上平移 ， １： ｘ 易求得切线方程为ｙ ＝ｘ＋１． 于 线 Ｃ： ｙ ＝ｅ 相切 ， ｘ ： ： 是可知 ： 直线ｌ 是曲线 和曲线 Ｃ ｙ ＝ｅ ｙ ＝ｘ＋１ （ ）的公共切线 ． Ｃ ｎ ｘ ＋２ ｙ ＝ｌ ２： 三、 第（ Ⅱ ）小题的另证 基于上 面 分 析 得 到 的 几 何 背 景 ， 要证明不等 ｘ 式 ①， 我们只需分别证明不等式ｅ ≥ｘ＋１及ｘ＋ （ ）即可 ， 下面从代数角度给出第（ １ ≥ｌ ｎ ｘ ＋２ Ⅱ）
Ｓ△Ａ Ｂ Ｃ ＝
＝
１ → → → → ２ ２ ２ · Ｂ｜ Ｃ｜ Ａ Ｂ·Ａ Ｃ） ｜Ａ ｜Ａ －（ 槡 ２
１ （２ ２ ２ ２ ２ （ ｘ ｘ ｘ －（ ｙ １ ＋ｙ １） ２ ＋ｙ ２） １ ２ ＋ｙ １ ２） 槡ｘ ２ １ ２ ２ ２ ２ ｘ ｘ ｘ ＝ ｙ ｙ ｙ ｙ １ ２ １ ２ ＋ｘ １ ２ －２ ２ １ 槡 ２ １ ＝ ｜ｘ ｙ ｙ １ ２ －ｘ ２ １ ｜． ２ ２．应用举例 运用上 述 公 式 ， 可以解决诸多与三角形面积 有关的问题 ． 例 １ 在 △Ｏ Ａ Ｂ 中， Ｏ 为 坐 标 原 点， Ａ（ １， π， π］ ， ） ， ， 其 中θ ∈ ［ 则 当θ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｂ（ ｓ ｉ ｎ １ θ） θ， ６ ３ 时， Ａ Ｂ 的 面 积 最 大； 则 当 θ ＝ △Ｏ 时， 的面积最小 ． Ｏ Ａ Ｂ △ Ａ → Ｂ → ） ， 分 析 由 题 意 知Ｏ １， ｃ ｏ ｓθ Ｏ ＝ （ ＝ （ ， ） ， 由三角形面积公式得 ｓ ｉ ｎ θ１ １ ｉ ｎ ｃ ｏ ｓ θ θ｜ ｜１－ｓ ２ １ １ ｉ ｎ ２ ＝ ｜１－ ｓ θ｜． ２ ２ π， π］ ２ π２ π， 因为θ ∈ ［ 所以当 ２ θ∈ ［ ， ］ θ ６ ３ ３ ３ π 或２ π， 即θ ＝ π 或 π 时 ， Ｓ△ＯＡＢ 取得最大值 ； ＝ ３ ３ ６ ３
Ｂ → →， ｃ ｏ ｓ＜ Ａ Ａ Ｃ ＞＝
Ｂ → →， 故ｓ ｉ ｎ＜ Ａ Ａ Ｃ＞ → → ２ （ Ａ Ｂ ·Ａ Ｃ） ， ＝ １－ → ２ → ２ Ｂ｜ · Ｃ｜ ｜Ａ ｜Ａ 所以
Ｂ → → ·Ａ Ａ Ｃ ， → → · Ｂ｜ Ｃ｜ ｜Ａ ｜Ａ
槡
Ｓ△ＡＢＣ ＝
Ｓ△Ａ Ｂ Ｃ ＝
Ｓ△ＯＡＢ ＝
Ｓ△ＯＡＢ ＝
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π 即 π 时， 当２ Ｓ△ＯＡＢ 取得最小值 ． θ＝ ， θ＝ ２ ４ 例２ 在 △Ｏ Ａ Ｂ 中， Ｏ 为坐标原点 ， Ａ， Ｂ 为单 → → Ａ → 位圆上两动点 ， 且满足 ｜ ｋ Ｏ Ａ ＋Ｏ Ｂ｜＝ 槡 ３｜Ｏ － → ） ， 求 △Ｏ ｋ Ｏ Ｂ｜（ ｋ ＞０ Ａ Ｂ 的面积的最大值 ． Ａ → 分析 因 为 Ａ， 故 ｜Ｏ Ｂ 在 单 位 圆 上， ｜＝ Ｂ → ｜Ｏ ｜＝ １． Ａ → Ｏ → Ａ → ｋＯ Ｂ → 得， 又由 ｜ ｋ Ｏ ３｜Ｏ ＋ Ｂ ｜＝ 槡 － ｜ → → → → ２ ２ ） （ ） ， （ ｋ Ｏ Ａ ＋Ｏ Ｂ ＝３ Ｏ Ａ －ｋ Ｏ Ｂ １ １ → → 化简得 ， Ｏ Ａ ·Ｏ Ｂ＝ （ ｋ＋ ） ． ｋ ４ 由三角形面积公式得 ，
· 辅教导学 · 数学通讯 — — —２ 上半月 ） ０ １ ３ 年第 １ ０期（
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所 ＋１ 是由直线ｌ ｙ ＝ ｘ 向左平移１ 个单位所得 ， １： ： （ ） ： 以， 曲线 Ｃ 与直线 ｌ ｎ ｘ ２ ｌ ｘ １ ＋ ｙ＝ ＋ 相 ２ ｙ＝ ） ， （ ） 切于点 Ａ（ 且曲线Ｃ 在直线 ０ ｎ ｘ＋２ －１， ｙ ＝ｌ ２： ： 的下方 ｌ ｙ ＝ ｘ ＋１ ． ｘ 容易知道 ： 曲线 Ｃ： ｙ ＝ｅ 与直线ｌ： ｙ ＝ ｘ＋１ ｘ （ ， ） ， ： 相切于点 Ｂ ０ １ 且曲线 Ｃ ｙ ＝ｅ 在直线ｌ： ｙ＝
槡
１ ０ ＝
— —２ 数学通讯 — 上半月 ） ０ １ ３ 年第 １ ０期（ · 辅教导学 ·
１ Ｂ → ２· Ａ → ２ Ｂ → ·Ａ → ２ Ａ Ｃ） ． ｜Ａ ｜ ｜ Ｃ｜ － （ 槡 ２ Ｂ → → ， 公式 ２ △Ａ 设Ａ Ｂ Ｃ 中， ｘ Ａ Ｃ＝ ＝（ ｙ １， １） （ ， 则其面积 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ｜ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ２， ２） １ ２ －ｘ ２ １ ｜． ２ ）知 ， 证明 由 （ １
Ｓ△ＯＡＣ ＝
Ｓ△Ｏ Ａ Ｂ ＝
＝ ＝ １ ２ ４
１ → → → → ２ ２ ２ · Ａ｜ Ｂ｜ Ｏ Ａ·Ｏ Ｂ） ｜Ｏ ｜Ｏ －（ 槡 ２ １ １
２
１－ （ １－ ｋ＋ ） ≤ ×２ １ ６ ｋ ６ ２槡 １ 槡
１
１
２
３， 槡
（ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ３－０ ４－１ ７