高中数学素材 教学随笔三角形面积向量求法

浅谈三角形面积的向量求法

向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几

何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用． 公式 ABC ∆中，若向量CB a =，CA b =，则22

2()ABC

S a b a b ∆=-⋅．

证明 1

sin ,2ABC

S a b a b ∆=<>2

2

2

(1cos ,)a b a b =

-<>2

2

2()a b a b =

-⋅．

１．利用公式求三角形的面积．

例1．已知ABC ∆，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ∆的面积． 解：∵(3,1)AB =，(2,4)AC =，∴2

10AB =，2

20AC =，10AB AC ⋅=，

∴22

2()ABC

S AB AC AB AC ∆=-⋅5=

=． 例2．已知ABC ∆中，向量00(cos 23,cos 67)BA =，00

(2cos 68,2cos 22)BC =，求ABC

∆的面积．

解：由已知，得00

(cos 23,sin 23)BA =，00(2sin 22,2cos 22)BC =，∴1BA =，2BC =，

∴00002(sin 22cos 23cos 22sin 23)BC BA ⋅=+0

2sin 45==

∴22

2()ABC

S BC BA BC BA ∆=-⋅2

=

． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．

例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412

x ππ

∈-，O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最值． 解

：

22

2()OPQ

S OP OQ OP OQ ∆=-⋅=

=1cos 22

x =．

∵[,

]2412x ππ

∈-

， ∴当12

x π

=

时，OPQ ∆

面积的最小值为

4

；当0x =时，OPQ ∆面积的最大值为

12

． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．

例4.已知OAB ∆中,OA a =，OB b =，且3,2a b a b +=-=，求OAB ∆面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-=，∴2229a a b b +⋅+=，22

24a a b b -⋅+=，解得5

4

a b ⋅=， 2

2

132

a b +=

，

∴

2

2

2()OAB S a b a b ∆=

-⋅2225a b =

-2

2225a b ⎫

+⎪≤

32=，当且仅当13

2

a b ==

时，取“

=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα==，(cos ,sin )OB b ββ==，a 与b 之间有关系式

3ka b a kb +=-，（0k >，且2k ≠±，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值，

并求此时a 与b 的夹角θ．

解：将3ka b a kb +=-两边平方，得2222

2223(2)k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+

∵1a b ==，∴22213(12)k ka b ka b k +⋅+=-⋅

+，又∵0k >，∴111

()42

a b

k k ⋅=

+≥，

当且仅

当

1

k =时取“=”

号

．

∴

2

2

2()AOB S a b a b ∆=

-⋅=

≤= ∴AOB ∆面积的最大值1

2a b ⋅=，∴1cos 2

a b a b θ⋅=

=，∵000180θ<<，∴060θ=． 新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问

题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．