探究三角形面积公式的向量表示

探究三角形面积的向量表示

陕西省洛南中学 殷冬生

一、问题提出

三角形面积公式的表示形式有多种，常见形式有

公式1：111222ABC a b c S ah bh ch ∆===（,,a b c h h h 依次是a ，b ，c 边上的高） 公式2：111

sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆=== 公式3：4ABC abc

S R ∆=（R 是ABC ∆的外接圆圆半径） 公式4：1

()2

ABC S a b c r ∆=++（r 是ABC ∆的内切圆半径） 公式5

：ABC

S ∆=1

()2

p a b c =++是ABC ∆的内切圆半径）

高中数学中引入了平面向量后，三角形的面积又可以用向量的坐标表示。在北师大版教材高中《数学5(必修)》中，第48面的例3给出了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式，并给出了证明过程。具体如下：

例3如图2-8,在ABC ∆中,(,),(,),AB x y AC u υ==

求证：ABC ∆的面积1

||2

S x yu υ=-.

分析：已知向量的坐标，可以求出三角形的两边

长度及夹角余弦，于是可依据上述三角形面积公式2进行证明.

证明：22211||||sin ||||

sin 2S AB AC A AB AC =⋅=⋅ 221

||||(||||cos )

AB AC AB

AC A =

=⋅-⋅ 因为(,),(,),AB x y AC u υ==所以

1||2

S x yu

υ===-.

这就得到了用平面向量的坐标表示的三角形面积公式：

公式6：在ABC ∆中，若1122(,),(,),AB x y AC x y ==则12211

||2

ABC S x y x y ∆=-.

学生思考：1.上述三角形面积公式6推导过程中使用了哪些数学知识？公式推导的依据是什么？

2.学习了空间向量后，你能用空间向量的坐标表示三角形的面积吗？ 二、师生探究

1.公式6的推导过程中用到了三角形的面积公式2、向量的数量积的定义、性质极坐标表示。公式6推导的依据是三角形的面积公式

2.

2.可以仿照平面向量表示三角形的面积公式的方法，用空间向量的坐标表示三角形的面积.

三、问题解决

在ABC ∆中，若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==求ABC ∆的面积S. 解析： 22211||||sin ||||sin 2S AB AC A AB AC =

⋅=⋅

221||||(||||cos )AB AC AB AC A ==⋅-⋅ ∵111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==

∴S =

=

=

即ABC S ∆=

公式7：在ABC ∆中，若111222(,,),(,,),AB x y z AC x y z ==则ABC ∆的面积为

ABC

S ∆=. 四、应用举例

已知ABC ∆的顶点A （1,1,1），B （2,2,2），C （3,2,4）1求ABC ∆的面积. 分析：可直接套用公式7，也可先求两边及其夹角余弦，再代公式2求解. 解：(1,1,1),(2,1,3),||3,||14,6AB AC c AB b AC AB AC ==∴====⋅

=，

∴cos cos ,||||3AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>=

==∵0,A π<<

∴sin A ==

∴ ABC ∆

的面积为11sin 222S bc A ===.

五、师生反思

用向量的坐标表示三角形的面积，其意义不在于用向量的坐标表示三角形的面积公式，而在于掌握用向量的坐标的计算三角形的面积.