沪教版(上海)数学高一下册-反三角函数课件

y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。
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一、反正弦函数
1、定义：正弦函数y sin x(x [ , ]) 的反函数
22 叫反正弦函数，记作 y arcsin x
（1）、arctan a 表示一个角
（2）、这个角的范围是 ( , )
22
即arctan a ( , ).
22
（3）、这个角的正切值是 a,
即 tan(arctan a) a(a R)
(4) arctan(tan ) , ( , ).
22
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2
1.5
arcsin(x) arcsin x 21
x [1,1]. -3 (4)单调性: 是增函数
2 -1
-2
-1
0.5
o
-0.5
1
1
2 2
x 3
-1
-1.5
y x -2
2
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余弦函数 y cos x(x R) 没有反函数。
y 1
· · -2
-
o
-1
· · · ·x
2 3
4
y cos x(x[0, ])
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二、反余弦函数
1、定义：余弦函数 y cos x(x [0, ])
叫反余弦函数，记作 y arccos x
x[1,1], y [0, ]
的反函数
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
2
33
(4) arctan 3 (5) tan(arctan )
3
22
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求值：
(1) cos(arcsin 1) 2
(3) tan(arcsin 2 arctan 3) 2
(2)sin[arccos( 1)] 2
反三角函数
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
没有,因为他不是一一对应函数
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正弦函数 y sin x(x R) 有反函数吗？
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a, 这里的“arcsina ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arcsin a( a 1) 符号
（1）、arcsin a 表示一个角
（2）、这个角的范围是
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
（3）、这个角的正弦值是 a,
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2、反正切函数 沪教版（上海）数学高一下册- 反三角函数课件 y=arctanx,x∈R的图象与性质
(1)定义域R (2)值域: ( , )
22
(3)奇偶性: 是奇函数
arctan(-x)=-arctanx(x∈R) 其图象关于坐标原点对称。
(4)单调性: 是增函数
-4
-3
-2
-1
2
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yx
3
2.5
2
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
-0.5
2
-1
-1.5
-2
2
-2.5
-3
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问题1：下列等式成立的是：
(1) arccos 0 1 (2) cos(arccos ) 0 (3) sin(arcsin )
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正弦函数 y tan x(x k , k z) 没有反函数。
2
2
2
y tan x, x ( , )
22
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三、反正切函数
1、定义：正切函数 y tan x(x ( , ) 的反函数
22
叫反正切函数，记作 y arctan x
x R, y ( , )
22 若x a R,有y arctan a,
这里的“ arctana ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arctan a(a R) 符号
4.5
(3)奇偶性: 非奇非偶函数 4 y∈[0，π]
3.5
arccos(x) arccos x
3
2.5
2
x [1,1].
1.5
1
(4)
-1
-1
o 11
-0.5
2
3
x 4
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是减函数
-1
yx
y=cosx,x∈[0，π] y∈[-1，1]
(4) arccos(cos) , [0, ].
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2、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图 沪教版（上海）数学高一下册-反三角函数课件 象与性质
(1)定义域： [-1，1]
(2)值域: [0，π]
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
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理解和掌握 arccos a( a 1) 符号
（1）、arccos a 表示一个角
（2）、这个角的范围是 0,
即arccos a0, .
（3）、这个角的余弦值是 a,
即 cos(arccos a) a(a [1,1])
即 sin(arcsin a) a(a [1,1])
(4) arcsin(sin) , [ , ].
22
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2、反正切函数y=arcsinx,x∈[-1，1]
的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]
(2)值域:
[ , ]
22
(3)奇偶性: 是奇函数，
y
其图象关于坐标原点对称，
(4) cos[2arcsin( 4)] 5
(5)sin(arcsin 1 arccos 1)
3
5
(6) arctan 1 arctan 1
3
2
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