高等数学复习(三重积分)

2 2 2
z
h
所以本题也可采用柱面坐标计算，即
按框图中线路1 12的方法计算。 解法1：利用“先二后一”方法计算。 由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z h} ，
x
R
Dz
o
R
y
R2 z 2 其中Dz : x y h 2
2 2
，故
h
R2 z 2 zdxdydz zdz dxdy z 2 dz 0 0 h Dz 1 R 2 h 3 R 2 h 2 2 z dz 0 4 h
(2) 确定上顶曲面 1及下顶曲面 2。
y 0, 因为当( x, y) Dxy 时满足 x 0，
z xy 0 。因此 1 : z xy
z
z xy
o
y x
y
2: z 0
x
(3) 转化为先对 z 后对 x , y 的三次积分计算：
xy z dxdydz
mV f ( x , y , z )dv MV

7. 中值定理：设函数 f ( x, y, z ) 在闭区域 上连续，V 是 的体积，则在 上至少存在一点 (, , ) ，使得
f ( x ,

y , z )dv f (, , ) V
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f ( x ,

y , z )dv f ( x , y , z )dxdydz

(1) “先一后二”法
若D 为 在 xoy 面上的投影区域
{( x, y, z ) | z1 ( x, y) z z 2 ( x, y), ( x, y) D}
与平面 y x ，x 1及 z 0 所围成的闭区域。 分析 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标 来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。
解: (1) 求 （如图）在平面 xoy 上的投影区域为 Dxy
Dxy : 0 y x, 0 x 1

f ( cos , sin ,

z ) drd dz
d


2 ( ) 1 ( )
d
z 2 ( , ) z1 ( , )
f ( cos, sin, z ) dz
3．利用球面坐标计算 若 {( r , , ) | r1 (, ) r r2 (, ), 1 () 2 (), } 则
2 3
1 x 1 1 1 5 6 5 6 x y dxdy dx x y dy 0 364 4 0 4 D xy
D xy
dxdy
xy 0
xy2 z 3 dz
2 2 ( x y )dv。其中 是由曲面 【例3】 计算三重积分
x 2 y 2 2z 及平面 z 2 所围成的闭区域。
积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数 f ( x, y, z ) g( z ) ，则可采用先二后一法计算；如果
2 2 被积函数 f ( x, y, z ) g( x y )，积分区域 为柱或 的投影
是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：
分析 由于积分区域 在 xoy坐标面上的投影区域为圆域
Dxy : x 2 y 2 4 且被积函数中含有 x 2 y 2，所以可采用柱面
坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。 解：积分区域 的如图所示。在柱面坐标下
: z 2, 0 2, 0 2 2
则
f ( x,

y , z )dxdydz
Leabharlann Baidu dxdy
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
(2) “先二后一”法 若 {( x, y, z) | c1 z c2 , ( x, y) Dz } 其中 Dz 是竖坐标为 z 的平面截 闭区域所得到的一个
解题方法流程图
I f ( x , y , z )dv
D
f g( x2 y2 z 2 )
投影为圆域
Yes
Yes
No
No
f ( x , y , z ) g( z )
2
3 先二后一的方法
1 先一后二的方法
f g( x 2 y 2 )为柱
利用球面极坐标计算
求D1及截面面积 S ( z ) 求
2
z
2
故有
2 2 ( x y )dv

2 0
d d 2 2 dz
0 2
2
2
2 1 6 2 16 4 3 2 ( 2 )d ( ) 0 0 6 2 3 2
o
2
2
y
x
【例4】计算三重积分 zdxdydz . 其中 是由锥面z 与平面 z h ( R 0, h 0)所围成的闭区域。

h x2 y2 R
分析 由于被积函数 f ( x, y, z ) z 只与变量 z 有关，且积分区域
2 2 R z 被竖坐标为 z 的平面所截的平面闭区域为圆域 Dz : x 2 y 2 2 h
故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法，即按照框图中
线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在 xoy坐标 面上的投影区域为圆域 Dxy : x y R ，
平面闭区域，则
f ( x,

y, z )dxdydz dz f ( x , y, z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(, , z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), } 则 f ( x , y , z )dxdydz
c1 , c2
确定 Dxy 上顶曲面 z h2 ( x , y ) 下顶曲面 z h1 ( x , y )
1 ( ) 2 ( )
I g( z ) S( z )dz
c1
转化为三次积分
上顶曲面 z z2 ( , ) 下顶曲面 z z1 ( , )
下顶曲面 2 为 z 0 。 于是，得
D xy 1
y
x
0 z 1 x y, 0 y 1 x, 0 x 1 。 即 ：
1 1 x 1 x y dxdydz 1 dy dz 3 0 dx 0 3 0 (1 x y z ) (1 x y z )
Iy
2 2 ( x z )dv
Iz
2 2 ( x y )dv
五、三重积分的解题方法
计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标
三种坐标计算。通常要判别被积函数 f ( x, y, z )和积分区域
所具有的特点。如果被积函数 f ( x, y, z ) g( x 2 y 2 z 2 )
二、三重积分的性质
1.线性性质：
[f ( x ,

y , z ) g ( x , y , z )]dv f ( x , y , z )dv g ( x , y , z )dv

2.可加性： f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dv
分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应 考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路1 11的方法计算。 解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 Dxy .
Dxy : 0 y 1 x, 0 x 1
的上顶曲面 1 为 z 1 x y ，
1
z
1
o
线路2的方法计算比较简单。 解：积分区域 的图形如图。 在球面坐标系下，
: 0 r cos, 0 , 0 2 2
第九章 重积分习题课 (二)
三重积分
一、三重积分的概念
1．定义:
f ( x,

y, z )dv lim f ( i , i , i )v i
0 i 1
n
2．物理意义:
M ( x , y , z )dv

表示体密度为 ( x, y, z ) 的空间物体 的质量。
I dxdy
Dxy
h2 ( x , y )
h1 ( x , y )
fdz
I dxdy
Dxy
z2 ( , ) z1 ( , )
fdz
六、典型例题
【例1】 计算三重积分

dxdydz 为平面x 0 ， 3 。其中 (1 x y z )
z 0， y 0， x y z 1 ，所围成的四面体。
1 x 1 1 1 1 dx dy 2 0 0 2 4 (1 x y )
1 1 1 x 1 1 1 5 dx ln 2 0 2 4 2 1 x 2 8
2 3 xy 【例2】 计算三重积分 z dxdydz 。其中 是由曲面 z xy
h
解法2：利用柱面坐标计算。
h 在柱面坐标下 : R z h, 0 R, 0 2
故有 zdxdydz 0 d 0 d h zdz 2 0

R 2
2
R
h
R
2 1 h ( h 2 2 2 )d 2 R
1 1 2 2 h 2 2 4 R R h ( h ) 2 0 4 2 4R
四、三重积分的应用
1．几何应用
2．物理应用 (1)质量 (2)质心
M ( x , y , z )dv

空间立体 的体积 V dv

1 x M
dv ， x

y
1 M
dv y，

z
1 M
zdv

(3)转动惯量
Ix
2 2 ( y z )dv
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
2 2 2 【例5】求 I ( x y z )dxdydz ，其中 是由球面
x 2 y 2 z 2 z 所限定的球域。
分析 由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数
中含有 x 2 y 2 z 2 ，故本题利用球面坐标计算，即框图中
c2
No
或 投影为圆域 11 12
Yes
: 1 ( ) 2 ( ) r ( , ) r ( ) r ( , ) 1 2
利用直角坐标计算
利用柱面坐标计算
dv r 2 sin d d dr
确定 Dxy
1 2
1 2
3. 的体积：V
dv

4. 单调性：若 在上， f ( x, y, z ) g( x, y, z ) ，则
f ( x ,

y , z )dv g ( x , y , z )dv

5．估值性质： m f ( x, y, z ) M , ( x, y, z ) , 则

f ( x ,

y , z )dxdydz
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sin drd d
d


2 ( ) 1 ( )
d
r2 ( , ) r1 ( , )
f (r sin cos, r sin sin, r cos) r 2 sindr