平面简单桁架的内力计算

（a）无载二根
非共线杆
F2
F1
F3=0
F1 F
F2=0
（b）无载三根杆， （c）有载二根非
二根共线杆
共线杆
两杆形成的节点，如果没有外力或约束力作用于该节点，则两 杆为零力杆；三杆形成的节点，其中有两杆共线如，果没有 外力或约束力作用 于该节点，则第三杆为零力杆。
节点法与截面法的联合应用
节点法：因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受 到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取 各节点为研究对象，根据平面汇交力系的平衡条件，计算 桁架内各个杆件内力的方法。
）所有杆件的内力先设为拉力，计算结果为负，说明该杆为
压力；（3）用节点法时，节点上的未知力一般不能多于两个
，用截面法时，节点上的总未知力一般不能多于三个，否则
不能全部解出。（4）若只要求桁架中某几个杆件的内力时，
可以采用截面法或节点法结合截面法，可较快地求得某些杆
的内力。
41
本章小结
一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶
Q q
2l
l
3
3
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加
q1
q2
l
49
50
51
组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动 铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载 荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN•m，试求固端A， 铰链C和支座E的约束力。
1.对称性
结构对称，载荷对称，则内力必对称； 结构对称，载荷反对称，则内力必反对称；
求内力时，可利用下列情况简化计算：
2.零杆的判别
零杆： 在一定荷载作用下，在桁架中受力为零的杆件。 在某些情况下，零杆可直接判别，无需计算。
A
4D
F3 0
1
75 3
B 6C 2 E
2.零杆的判别
F1=0 F2=0
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目—为静定
独立方程数 <未知力数目—为静不定
五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
44
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
静力学
木桁架节点
榫(sun)接
11
静力学
钢桁架节点
铆接
焊接
12
静力学
钢筋混凝土桁架节点
刚接
13
静力学
各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心
14
静力学
各杆件都用光滑铰链相连接
15
静力学
所有外力，包括荷载及支座约束力 都作用在节点上
16
静力学
17
桁架的分类（按几何组成）
⑴ 简单桁架
⑵ 联合桁架
F
q
AHB
C
M E
D
l/8 l/8 l/4 l/4 l/4
52
53
LOREM IPSUM DOLOR
LOREM IPSUM DOLOR
7
平面桁架
理想桁架
关于平面桁架的几点假设： 1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内； 2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接； 3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。 理想桁架 桁架中每根杆件均为二力杆
静力学
节点
工程上把几根直杆连接 的地方称为节点
10
a A a a aB
CD
FC
FAy A
FAx
联立求解得 FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
25
A FAx
FAF FAC
取节点A，受力分析如图。由平衡方程
FAy
F
FFE
FFA
FFC
FCF
C
FCA
FCE FCD
取节点F，受力分析如图。由平衡方程 取节点C，受力分析如图。由平衡方程
节点法的特点: 1、研究对象为节点 2、每个节点所受的力都组成平面汇交力系，可以建立
两个独立的平衡方程，因此应逐个选取不超过二个 未知力的节点作为研究对象。
如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4 kN，
水平力FE=2 kN。
解： 节点法
F
E FE
先取整体为研究对象,受力 如图所示。由平衡方程
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx上，
A
B x 作用力的大小为q'dx，其中q'
为该处的载荷集度 ，由相似三
l
角形关系可知
F
q
A
dx x
h l
B x 因此分布载荷的合力大小
46
F
A dx
x h l
设合力F 的作用线距A端的 距离为h，根据合力矩定理，有
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡 R ' 0,M O 0;
n
合力矩定理
mO (R )mO (Fi )
i1
42
三、平面一般力系的平衡方程
一矩式
二矩式
三矩式
X 0 Y 0 mO (F )0
FAy A
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
30
FAy FAx A
F m E FE FB a a aa
CD B FC m
作一截面m-m将三杆截断，取 左部分为分离体，受力分析如图。
由平衡方程
FAAy FAx
FF
E
FE
F a
C
CDE
FFC CD
联立求解得
31
求内力时，可利用下列情况简化计算：
截面法： 在需求内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分， 取其中一部分为研究对象，将杆件的内力转化为被截断杆件 两断面间相互作用的力。作用在部分桁架上的力组成了一个 平面任意力系，考虑其平衡，对该力系建立平衡方程，计算 杆件内力方法。
例4：平面桁架如图，已知F，试求杆BH的内力。
解：［整体］
H 1
D
②画受力图（受力分析）② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
④解方程求出未知数 ④ 灵活使用合力矩定理。
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
45
三角形分布载荷的简化问题 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
（3）作截面时一定要“切断”整个桁架，不能留一些杆件未截 断。
如图平面桁架，已知铅垂力FC = 4 kN，水平力FE = 2 kN， 求FE，CE，CD杆内力。
解： 截面法
先取整体为研究对象,受力 如图所示。由平衡方程
F
E FE
a A a a aB
CD
FC
联立求解得 FAx= －2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kN
E
F
[1-1截面左侧] FDB为零杆
FAx A
1B
C
FAy
l
l FC
FHE 1
FBH
0
FAy
FDB
FAx
FAB
C
1
例5：悬臂式桁架如图所示。l=2 m，b=1.5 m，试求杆件
GH，HJ，HK的内力。
m KH
E
B 解： 1. 用截面m-m将杆HK，
b
HJ ， GI ， FI 截断。
J
G
D
b
A
取右半桁架为研究
§2-6 平面简单桁架的内力计算 需要解决的问题：
1 什么是理想桁架？ 2 平面简单桁架 3 桁架计算的节点法 4 桁架计算的截面法 5 桁架中的零力杆
工程中的桁架结构
2
工程中的桁架结构
3
静力学
工程中的桁架结构
4
静力学
工程中的桁架结构
海洋石油钻井平台
5
静力学 房屋建筑
机械
国防
通讯
桥 梁6
桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。特别是所有构件都在同一 平面内的平面桁架常用在屋顶与桥梁建筑中。
FC
26
FDE
D
FDC
取节点D，受力分析如图。由平衡方程
FDB
FBE FBD
取节点B，受力分析如图。由平衡方程
FB
B
解得
27
截面法举例
截面法：
在需求内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，取其 中一部分为研究对象，将杆件的内力转化为被截断杆件两断 面间相互作用的力。作用在部分桁架上的力组成了一个平面 任意力系，考虑其平衡，对该力系建立平衡方程，计算杆件 内力方法。
q Bx
将q' 和 F 的值代入上式，得
47
y
Q
q
结论：
x dx
x
xC
1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线载荷的方向相同。 3、合力的作用线通过载荷图的形心。
48
补充：平行分布线荷载的简化结果
1、均布荷载
Q q
Q ql
l/2 l/2
2、三角形荷载
Q 1 ql 2
Ll
I l
O l
C l
对象，受力分析如图。
m
F
FHK H
B
FHJ FGI
G
D
I FFI O
C
A
F
n
KH
E
B
2. 用截面n-n
b
取右半桁架为研究对象
J
G
D
b
A
Ll
I
O
l
lCBiblioteka lnFEH En B
F [节点H]
FEG FDO D
FHK
A
O FCO C
n
F
H
FEH
FGH FHJ
思考：对此类静定桁架应如何求解杆AA′、 BB′、CD的力？桁架外轮廓为半个八角形。
X 0 mA(F )0 mB (F )0
mA(F )0 mB (F )0 mC (F )0
A,B连线不 x轴 A,B,C不共线
平面平行力系的平衡方程
X 0 成为恒等式
一矩式
二矩式
Y 0
mA(F )0 AB 连线不平行于力线
mA (F )0 mB (F )0 43
平面汇交力系的平衡方程 mA(F )0 成为恒等式
截面法的关键：恰当选取截面。
截面法的特点:
（1）一般要求哪些杆的内力，就从哪里截开，截面形状不限， 可以是平面，也可以是曲面；
（2）对平面任意力系可建立三个独立的平衡方程，求解三个未 知量。故为避免解联立方程组，一般情况下每次截断的未知 内力的杆件一般不要超过3根，且这3根杆不能交于一点或相 互平行（但在特殊情况下，截断的杆件可多于3根）；
F
C
D
F A′
B′
A
B
总结
桁架的计算实际上就是二力杆内力的计算。如果桁架是平 衡的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。若分 离体只包含一个节点，称为节点法，为平面汇交力系的平衡； 若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，一般为平面任意 力系的平衡。
应注意：（1）除了悬臂型桁架外一般要先求支座反力；（2
⑶ 复杂桁架
按空间形式可分为:
平面桁架
空间桁架
组成桁架的所有杆件轴线 都在同一平面内
2-5 平面静定桁架
组成桁架的杆件轴线 不在同一平面内
20
21
22
23
节点法举例
节点法：因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节 点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力， 可以逐个地取各节点为研究对象，根据平面汇交力 系的平衡条件，计算桁架内各个杆件内力的方法。