第四章 中心趋势测量

3、根据分组数据求均值
计算公式：
bn X n
i i
i
其中，bi为第i组的组中值 ni为第i组的频次
表1：工人日加工零件频数分布表
组号 1 2 日加工零件数 105-110 110-115 频数(ni) 3 5 中心值（bi） bi× ni 107.5 112.5 117.5 322.5 562.5 940.0
利用该公式，可以计算 10%、25%、75%等任何 一个分位点的变量值，只 需将公式中的50%换成相 应分位数即可
分位数 将所有的变量值由低到高排列并等分若干部分后， 处于等分点位置的数值。

四分位数：把数据等分为4等分的三个点，每份包 括 25% 的数据，这三个点上的数据就是四分位 数。 与此类似的还有十分位数，百分位数等。
2
Md [ X n X ( n2) ] / 2
2 2
3、根据分组数据求中位数
表2.3 某校学生视力统计表 （N=1000）
组界 0.2-0.4 … … … 0.4-0.6 0.6-0.8 0.8-1.0 1.0-1.2
下界值L 上界值U
下界累计百分比L%
频次
累计频次cf
累计百分比 cf%
究竟选择哪种集中趋势量数？
首先看变量的层次，看数据的类型。高层次的 变量可以用低层次的量数来测量。 • 如果是分类数据，就使用众数 •如果数据中包含极值，平均数有可能被扭曲， 中位数可以更好地反应数据 •如果是定距层次变量，而且不包含极值，使用 均值的精确性更高
箱形图
X (U L)* 50% L% U % L%
50%
L%
36.3% X
0.8 L 1.0 U
Md L
Md
(U L)(50% L%) U % L%
L(U % 50%) U (50% L%) U % L%
0.8 (54.5% 50%) 1.0 (50% 36.3%) 54.5% 36.3% 0.8 0.045 1.0 0.137 0.173 0.95 0.182 0.182 Md
121 182 …
363 545 …
36.3 54.5
上界累计百分比U%
（1）根据统计表中的累计百分比，找出含有50%的区间 （2）求出含有50%区间的上界值U、下界值L、上界累计百分比 U%，下界累计百分比L%和组距h （3）利用线性插值法，求出累计百分比为50%的变量值
…
U%
54,5%
X 50% L% U L U % L%

均值（mean）
1、根据原始资料求均值
X X n
X为数据中每个具体的数值
n为样本数
表2.1 三个不同商店的消费者数 商店名 兰哈姆公园商店 威廉斯堡商店 下城商店 年顾客数量 2150 1534 3564
有关均值，我们需要了解的：
• 均值也叫典型平均数或中心值，总体均值我们常用希腊字母 表 示，样本的均值我们常用罗马字母 X 表示。 • 公式中的小写字母n表示用于计算均值的样本的规模，大写字母N一般 用于表示总体规模。有些时候，对于两者不加以区分。
三种选择集中值的做法： 1、根据频次：哪个变量值具有的频次最多，就选择哪个变量值。 2、根据居中：变量排序后，选择处于中间位置的变量值。 3、根据平均：计算变量的平均值作为集中值。
众数（Mode）
定义：某个数据中出现次数最多的数值
政党背景 民主党 共和党 无党派人士 次数或频数 90 70 140
Mo：无党派人士 还是 140？
1、众数≠频次 2、若每个数值出现的次数相同，则没有众数 3、若出现次数最多的数值不止一个，则该数据为多峰分布
中位数（Median）
定义：将数据按从小到大或从大到小的顺序排列， 位于中间位置的数值，就是中位数。
1、 根据原始资料求中位数
当数值的个数是奇数时，中位数即是中间位置的数值
89 78 60
总计
12 9 1
100 n1X1表示变量值X1与它对应频次n1的乘积 n2X2表示变量值X2与它对应频次n2的乘积 nkXk表示变量值Xk与它对应频次nk的乘积
X
Biblioteka Baidu
ni X i ni

n1 X 1 n2 X 2 ... nk X k n1 n2 ...nk
2、根据频次分布求中位数
表2.3 某班英语成绩统计表 成绩 A B C D 频次 10 210 195 85 累计频次 10 220 415 500 百分比 2% 42% 39% 17% 累计百分比 2% 44% 83% 100%
小计
500
100%
n为样本数，当n为奇数时， 当n为偶数时，
Md X ( n1)
• 样本均值是非常准确地反映总体均值的集中趋势量数，只能用于定 距变量 • 均值对极值（最大值或最小值）非常敏感。极值会使得均值向一方 或另一方倾斜，也使得均值对数据组的代表性减弱，同时作为集中 趋势量数的有效性减弱。
2、根据频次分布求均值
表2.2 飞行员飞行熟练程度测验结果统计表
数值 97 94 92 91 90 频数 4 11 12 21 30
众数 适用变量 稳定性 定类变量 最不稳定 中位数 定序变量 均值 定距变量， 定比变量
较 均 值 的 稳 最稳定 定性差
计算时要用 可最快速求出 只 需 中 间 的 计 算 时 要 用 数据 数据 到全部数据 极端值的影 有时候对个别 对 极 端 值 不 受 极 端 值 的 响 值的变动也很 敏感 影响 敏感 分组变化时 影响较大 的影响 有些影响 不大
根据中心值计算的均值（123.2）与原始数据计算的均值 （122.2）相比，有一定误差，但对于社会学研究来说， 其精度已经可以接受。
三者的关系
一般情况下，众数，中位数和均值三者具有以下关系：
三者相等 Mo = Me = X
左偏分布
右偏分布 Mo < Me < X
X < Me < Mo
三种集中趋势量数的比较
第四章 中心趋势测量
主要概念

众数

中位数 • 分位数 四分位数 十分位数 百分位数
均值

问题：我们在上节课中学习了通过统计表，用若干个数字，如频数或 百分比来简化变量的资料分布。我们是否能对数据做进一步简化？

集中趋势量数（measures of central tendency） 定义——在描述一组数据时，用某一个典型的变量值或 特征值来代表全体变量，这个典型的变量值或特征值被 称作集中值或集中趋势量数。
3
4 5 6 7 合计
115-120
120-125 125-130 130-135 135-140
8
14 10 6 4 ∑ ni =50
122.5
127.5 132.5
1715.0
1275.0 795.0
137.5
550.0
∑ bi ni =6160
bn X n
i i
i
6160 123.2 50
Md X ( n1)
2
当数值的个数是偶数时，中位数即是中间两个数值的平均值
Md [ X n X
2
n ( 1) 2
]/ 2
例：5个家庭的收入
＄135456
＄54365
＄25500
＄37668
＄32456
6个家庭的收入从低到高排列：
＄25500； ＄32456； ＄37668； ＄ 34500； ＄54365 ； ＄135456