3-4置信区间与假设检验之间的关系

0 （ 2已知） （ 2已知）
X n X S n
X 0 n X 0 S n
(n 1)S
2 0 2
N (0, 1)
X

X S n

n
U
X 0
2

t (n 1)
t 2 (n 1)
2
n X 0 S n
U 2 t 2 (n 1)
反之, 对于任意的 0 ,
考虑显著水平为 的假设检验问题 :
H 0 : 0 , H1 : 0 . 假设它的接受域为 ( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ).
即有 P 0 { ( X 1 , X 2 , , X n ) 0 ( X 1 , X 2 , , X n )}
反之, 若已求得检验问题H 0 : 0 , H 1 : 0 的接受域为: 0 ( x1 , x2 , , xn ) ,
则可得 的一个单侧置信区间 ( , ( X 1 , X 2 , , X n )) .
( 2)置信水平为1 的单侧置信区间( ( X 1 , X 2 , , X n ), ) 与显著水平为 的右边检验问题:
1 , 由 0 的任意性, 知对于任意的 , 有 P { ( X1 , X 2 , , X n ) ( X1 , X 2 , , X n )} 1 ,
因此 ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参 数 的一个置信水平为1 的置信区间 .
H 0 : 0 , H1 : 0 也有类似的对应关系 . 若已求得单侧置信区间 ( ( X1 , X 2 , , X n ), ),
则当 0 ( ( x1 , x2 , , xn ) , ) 时接受 H 0 ;
当 0 ( ( x1 , x2 , , xn ), ) 时拒绝 H0 .
2. 置信区间与单边检验之间的对应关系
(1)置信水平为1 的单侧置信区间( , ( X 1 , X 2 , , X n )) 与显著水平为 的左边检验问题:
H0 : 0 , H1 : 0 有类似的对应关系 .
若已求得单侧置信区间 (, ( X1 , X 2 , , X n )), 则当 0 (, ( x1 , x2 , , xn )) 时接受 H0 ; 当 0 (, ( x1 , x2 , , xn )) 时拒绝 H0 .
12 2 ( n 1)
(n 1) S 2
（n－） 1
2
( n 1) S

或
2 0
12 2 (n 1)
2 2 ( n 1)

2
2
(n 1) S 2
2 ( n 1)

2
( X Y ) ( 1 2 ) X Y 1 2 1 2 1 1 两 ( 2 2 2 )( 2 2 2 ) S w n1 n2 Sw n11 n12 1 2
则对于任意的 ,
有 P { ( X1 , X 2 , , X n ) ( X1 , X 2 , , X n )}
1 ,
考虑显著水平为 的双边检验 :
H 0 : 0 , H1 : 0 .
P 0 { ( X 1 , X 2 , , X n ) 0 ( X 1 , X 2 , , X n )}
( X Y ) ( 1 2 )
X Y Sw
1 n1
个 正 态 总 体
t (n1 n2 2)
Sw
1 n1
n12
n12
1
2
t (n1 n2 2)
Leabharlann Baidu
t (n1 n2 2)

2 1 2 2
2 S 12 2
S
2 1 2 2

2 1 2 2
接受域为
( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ).
当我们要检验假设 H 0 : 0 , H1 : 0时 ,
先求出 的置信水平为 1 的置信区间 ( , ),
若 0 ( , ), 则接受 H 0 ; 若 0 ( , ), 则拒绝 H 0 .
右边检验 的单侧置信区间( ( X 1 , X 2 , , X n ), ).
反之, 若已求得检验问题H 0 : 0 , H 1 : 0 的接受域为: ( x1 , x2 , , xn ) 0 ,
则可得 的一个单侧置信区间 ( ( X 1 , X 2 , , X n ) , ) .
二、典型例题
例1 设 X ~ N ( , 1), 未知, 0.05, n 16,
第四节
置信区间与假设检验之间 的关系
一、基本概念
二、典型例题
三、小结
一、基本概念
1. 置信区间与双边检验之间的对应关系
设 X1 , X 2 , , X n 是一个来自总体的样本 , x1 , x2 , , xn 是相应的样本值 ,
是参数 的可能取值范围 ,
设 ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参数 的一个置信水平为1 的置信区间 ,
且由一样本算得 x 5.20 ,
于是得到参数 的一个置信水平为 0.95 的置信 1 1 区间 ( x u0.025 , x u0.025 ) 16 16 (5.20 0.49, 5.20 0.49) (4.71, 5.69).
考虑检验问题 H 0 : 5.5, H1 : 5.5,
S S
2 1 2 2
F1 2 (n1 1, n2 1)
F (n1 1, n2 1)
S12 2 S2
12 2 2
S12 F1 2 (n1 1, n2 1) S22 S12 或 2 F 2 (n1 1, n2 1) S2
F 2 (n1 1, n2 1)
因为 5.5 (4.71, 5.69), 所以接受 H 0 .
例2 数据如上例. 试求右边检验问题
H 0 : 0 , H1 : 0 的接受域, 并求 的单侧 置信下限. ( 0.05)
解
x 0 u0.05 , 检验问题的拒绝域为 u 1 16
即 0 4.79, 故检验问题的接受域为 0 4.79,
为要求出参数 的置信水平为 1 的置信区间,
要先求出显著水平为 的检验假设 H 0 : 0 , H1 : 0 , 的接受域 :
( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ). 那么 ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参 数 的一个置信水平为 1 的置信区间.
1 ,
即 P 0 {( 0 ( X 1 , X 2 , , X n )) ( 0 ( X 1 , X 2 , , X n ))}
.
该检验的拒绝域为
0 ( x1 , x 2 , , x n ) 或 0 ( x1 , x 2 , , x n ),
单侧置信区间(4.79, ), 单侧置信下限 4.79.
正态总体均值、方差的置信区间与假设检验
置信度1
拒绝域
待估 参数

原 假设
枢轴量
检验统 计量
分 布
置信区间
一 个 0 正 （ 2未知） 2 （ 未知） 态 总 体 2 2 02 (n 1)S 2 2 ( 未知) ( 未知)
三、小结
1. 置信区间与双边检验
( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参数 的一个置信水平为 1 的置信区间.
2. 置信区间与单边检验
左边检验 的单侧置信区间( , ( X 1 , X 2 , , X n )).