网格问题(中考专题复习)

网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点 图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合， 因此它也成为近几年新课程中考的热点问题． 格点图形问题常见的题型有： 一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 二、在网格中运用勾股定理进行计算． 三、分类讨论思想在格点问题中的运用． 四、网格中图形变换的画图与描述． 五、网格图形的操作方案设计问题． 六、利用格点图形探究规律．
一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应 的．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标（ A ）． A．(1， 2) ； B．(2， 1) ； C．(－1， 2) ； D．(1，－2)．
y 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 图1 1 2 3 x E
8 7 6 9 5 6 8 4 1 4 5 3 2 7 3 2 1 A B C D E F G H I
【例2】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的 几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字 母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置 (D,6) 可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ．
【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果 △A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为 （ ）． A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ．
[解析] 根据轴对称的性质， y 轴垂直平分线段AA'，因此点 A与点A'的横坐标互为相反数， 纵坐标相等．点A(－4，2) ， 因此A'(4，2)．选D．
二、在网格中运用勾股定理进行计算．
【例4】如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图， 小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为 _______m．（结果保留根号）
A 1m
[解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理 为基础的，网格中两个格点间的距离当然离 不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC 分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜 边，容易计算AB+BC= 2 5
B
C
【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是 ( ). A、
3 4
4 B. ； C. 3
3 5
；D.
4 5
[解析] 本题在网格中考查锐角 的正弦的意义，首先要用勾股 定理计算直角三角形斜边的 长．一般情况下，为了减小计 算量，把小正方形的边长设为 1．选C．
α
【例6】如图5，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶 点，可得△ABC，则AC 边上的高是（ ）．
3 2 A、 2
B．
3 ； C． 5 10
3 5 5
；
4 D． 5 5
这是一道比较复杂的计算题。要借用ABC 的面积 来计算AC边上的高。以AC、AB、BC 为斜边的三个 1 直角三角形的面积分别为1、 1、 ，因此ABC 的面积 2 3 为 ；用勾股定理计算AC的长为 5，因此AC边上的 2 3 高为 5。选C 5
A C
B
【例7】如图1，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上， 其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单 位．
y B C O A x
y D C O E A F x B
图1
图2
[解析] 如图2，在网格中构造不规则三角形的外接矩形，是计 算不规则三角形面积常用的办法．容易计算△ABC的面积为7 平方单位．
【例8】如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方 形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成 一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面 积是整个图案面积的( )．
A. 1 2 2 ; B. 1 ; 4 C. 1 ; 7 D. 1 . 8
图1
图2
[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方 形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在 图1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三 9 角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于 2 因此小正方形的面积是大正方形面积的 1 ．选 D． 8
三、分类讨论思想在格点问题中的运用．
【例9】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正 方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在 小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点 C的个数为( ) A．3个； B．4个； C．5个； D．6个． B A
[解析] 怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏？按 照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时， AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有4个；当点C与点B在 同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2 个．选D．
【例10】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小 正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角 形是等腰三角形的所有格点C的位置．
C1
C2
[解析] 心动不如行动，赶快拿起圆规： 以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧 经过格点C1、C2 ；以B为圆心，AB 长为半径画圆，圆弧经过格点C3 ．
A
C3
B
【例11】已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3， 4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB 分割成两部分． 问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？ （注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的 坐标） y
B
[解析] 按照公共锐角进行分类，可以分 为两种情况：当∠BOA为公共锐角时， 只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为 公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直 角两种情况．如图， 7 C1（3，0），C2（6，4），C3（6， )
4
P
C2
C3
O C1 A
x
四、网格中图形变换的画图与描述．
【例12】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所 示，那么下面平移中正确的是（ ）
A
N
A' N
M 图1
M
图2
A. 先向下移动1格，再向左移动1格； B. 先向下移动1格，再 向左移动2格；C. 先向下移动2格，再向左移动1格； D. 先向 下移动2格，再向左移动2格． [解析] 图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过 程中对应点的连线平行且相等．图1中的图形N平移到图2，就 是点A平移到点A′，先向下移动2格，再向左移动1格，选C．
【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将 △OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′． ⑴画出△OA′B′； ⑵点A′的坐标为________________； y ⑶求BB′的长．
A' B'
A
A x
O
B
O
B
图1
图2
[解析] 如图2，点B′的位置很容易确定，如何简捷准确地确定点 A′的位置？将OA为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转90°，就 可以确定点A′的位置．要用坐标描述点A′的位置，先要按点O、 B的坐标建立坐标系，按照全等形的对应边相等及数形结合思想， 点A′的坐标为（－2， 4）．BB′的长就是等腰直角三角形OBB′的 斜边长，BB′= 3 2
五、网格图形的操作方案设计问题．
【例14】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两 个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的 拼法．
[解析] 这是一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图 形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题 意的图形．
【例15】如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的 正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的 图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC． （1）如果A、D两点的坐标分别是(1，1)和(0，－1)，请你在方 格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标； （2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中 “格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到 的．
[解析] 第（2）小题又是一道百花争艳满园春的开放题．“格点 △ABC图案”不论翻折还是旋转，都可以得到“格点四边形图 案”，条条道路通罗马．同学们在表述时，注意语言的简洁、准 确．例如：把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向 上平移5个单位长度，以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方 向旋转180°，即得到“格点四边形图案”．
【例16】请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分 割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网 格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新 正方形． 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割 2 补前后图形的面积相等，有 x 5 ，解得 x 5 ．由此可知新正 方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出 如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接 成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形 网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正 方形．
图1
图2
图3
图4
图5
[解析] “依葫芦画瓢”是同学们最朴素、最直接的学习方法，设 x2 10 ，解得 x 10 ． 10 等于三个小正方形组成的矩形对角线的 长．于是，画出如图6所示的分割线，拼出如图7所示的新正方 形．本题用方程的思想解决几何问题，又用到勾股定理，是体现新 课程理念的 一道好题目．
【例17】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离， 这样的图形变换为平移，如图1，将网格中的三条线段沿网格线 的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形， 至少需要移动（ ）． A.12格； B.11格 ； C.9格； D.8格． A
P B C D E M N F
图1 [解析] 我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是 等腰直角三角形，再来确定平移的“原则”：三条线段同时平移（向目标集 中），则效率最快．如图1，点B与点C平移到点M，点A与点E平移到点P， 三条线段共平移9格，围成△PMN．在这个过程中，线段AB、CD的方向没 有改变，线段EF的方向只改变了1次． 这是一道很好的研究性学习的题目，可以在活动中激发学生的学习兴趣和 探究精神，但不适宜作为中考题．
六、利用格点图形探究规律．
【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的 长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点 的个数有（ ）．
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个．
D F C G N A E B M
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直 线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个 等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边 的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜 边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三 角形有3个，符合题意的点有4个．选C．
【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形 图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是 12， 则第n个“L”形图形的周长是_________
① ② ③
① ② ③
图1 图2 [解析] 把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长 没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是 4(n+1)．
网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖 的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本， 网格问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开 展复习．