必修四任意角(附答案)

任意角
[学习目标] 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法．
知识点一任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋
转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是
角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型定义
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
思考经过1小时，时针转过多少度？
答案－30°.
知识点二象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
思考锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
答案锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
知识点三终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考1 下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.
终边所在的位置角的集合
x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
思考2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α终边所在
的象限 角α的集合
第一象限 {α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z } 第二象限 {α|k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z } 第三象限 {α|k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z } 第四象限
{α|k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z }
题型一 终边相同的角与象限角 例1 已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°. ∴取k ＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角， ∴α为第三象限角． (2)与2 010°终边相同的角为
k ·360°＋2 010°(k ∈Z )．
令－360°≤k ·360°＋2 010°<720°(k ∈Z )， 解得－6712≤k <－37
12(k ∈Z )．
所以k ＝－6，－5，－4.
将k 的值代入k ·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
跟踪训练1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°
角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
题型二 等分角所在象限的判断
例2 已知α是第二象限角，试确定2α，α
2的终边所在的位置．
解 因为α是第二象限角，
所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°<α
2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，
所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，
n ·360°＋45°<α
2
<n ·360°＋90°，
即α
2
的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α
2<n ·360°＋270°，
即α
2的终边在第三象限． 所以α
2的终边在第一或第三象限．
跟踪训练2 已知α为第三象限角，则α
2所在的象限是( )
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限 答案 D
解析 由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k
2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α
2
为第二象限角；
当k 为奇数时，α
2为第四象限角．
题型三 终边相同角的应用 例3 已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，
k ∈Z }．
终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，
k ∈Z }．
跟踪训练3 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }． ②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z } ∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z } ＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z } ∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }
＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }
＝{α|n ·180°＋30°≤α<n ·180°＋105°，n ∈Z }．
已知角α所在象限，求α
3
所在象限问题
例4 已知α是第一象限角，则角α
3的终边可能落在______．(填写所有正确的序号)
①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限 解析 ∵α是第一象限角，
∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，
∴k 3·360°<α3<k
3
·360°＋30°. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°<α
3<m ·360°＋30°，
∴角α
3
的终边落在第一象限．
当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°<α
3<m ·360°＋150°，
∴角α
3
的终边落在第二象限．
当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°<α
3<m ·360°＋270°，
∴角α
3的终边落在第三象限，故选①②③.
答案 ①②③
1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C
D ．A ＝D
3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S .
一、选择题
1．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限
D ．第三或第四象限
2．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
3．与－460°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋460°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·360°＋260°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·360°－260°，k ∈Z }
4．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大
B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则A
B
C ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角
D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 6．集合M ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＝
k ·180°
2
±45°，k ∈Z ，P ＝x |x ＝
k ·180°
4
±90°，k ∈Z ，则M 、P 之
间的关系为( )
A ．M ＝P
B ．M P
C ．M P
D ．M ∩P ＝∅
二、填空题
7．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是________． 8．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________．
9．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.
三、解答题
11.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
12．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
13.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
当堂检测答案
1．答案D
解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故为第四象限角，故选D.
2．答案D
解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
3．答案195°＋(－3)×360°
4．答案－252°
解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
5．解终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；
∴终边落在坐标轴上的角的集合为：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．
课时精练答案
一、选择题
1．答案A
2．答案C
解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
3．答案C
解析∵－460°＝－2×360°＋260°，
∴－460°与角260°终边相同，
∴与－460°角终边相同的角的集合是
{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}．
4．答案D
解析－75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°＝360°＋115°是第二象限角；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故①②③④全正确，选D.
5．答案B
解析A不正确，如－210°<30°.
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴A B，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，
∴C不正确．显然D不正确．
6．答案B
解析对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
二、填空题
7．答案240°
解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，
∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.
8．答案{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
9．答案－110°或250°
解析∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，
∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，
∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
10．答案{－126°，－36°，54°，144°}
解析当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
三、解答题
11.解 终边落在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋
k ·360°，k ∈Z }，终边落在y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S ＝{α|α＝
240°＋k ·360°，k ∈Z }，
于是终边在y ＝3x 上角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋
k ·360°，k ∈Z }
＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．
12．解 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z . ∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°. 取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.
13.解 ∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )， ∴θ＝
n ·180°
7
，从而90°<
n ·180°
7
<135°，
∴72<n <214，∴n ＝4或5.当n ＝4时，θ＝720°7； 当n ＝5时，θ＝900°7.。