第3章-核反应堆临界理论汇总
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2 2 2 2 2
1 d 2Z 2 Z dz 2
d 2 f 1 df 2 f 0 2 r dr dr
14
方程（3-23）
方程 解 Z ( z) A1 cosz A2 sin z 由边界条件(2)，式(3-20)得A2＝0，则
Z ( z) A1 cosz
z H 2
1 1 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
2
r r
(r
r
)
z
2
B 0
z
z 0
0
r
r 0
0
13
二阶偏微分方程
采用分离变量法 (r , z ) f (r )Z ( z ) 1d f 1 df 1d Z B 代入方程(3-16)得到 f dr rf dr Z dz 上式等号左边只与r有关，等号右边只与z 有关。因为r和z是两个彼此无关的独立变 量，要使式(3-22)保持相等关系，只有两 2 边都是常数才行。该常数记为 ,则得到
P Ef f
积分后得
A
a 2 a 2
x ( x)dx E f f A cos( )dx
a 2 a 2
a
P
2aE f f
11
3.1.3 有限高圆柱形均匀裸堆
设一有限高圆柱形 均匀裸堆，高为H， 半径为R，如图3-2 所示，采用圆柱形 坐标，坐标原点位 于轴线的半高度上。
2 2 2 2
d 2 f 1 df 2 f 0 2 r dr dr 2 B 2 12 B 2 ( ) 2
16
图3-3 零阶贝塞尔函数
17
零阶贝塞尔方程解
当x＝0时，J0(0)＝1，而Y0(0)→-∞。 r＝0处堆内中子通量密度有限，所以C2 ＝0。则式(3-32)可写成 f ( x) C1 J 0 ( x) f (r ) C J (R) 0 由边界条件式(3-17) 正如图3-3所示，在x＝x1，x2…等处，函 必须取 数J0(x)为零，即J0(xn)＝0。故 x n 如下的本征值 n n
第3章 核反应堆临界理论
研究均匀裸堆的临界问题。主要研究下 面两个问题： （1）各种形状的反应堆达到临界状态的 条件（临界条件），临界时系统的体积 大小和燃料成分及其装载量； （2）临界状态下系统内中子通量密度 （或功率密度）的分布。
1
研究方法
首先，研究均匀裸堆。 其次，研究带反射层的反应堆。 最后，研究非均匀堆。 方法是先单群，后多群研究。
1 d 2Z 2 2 Z dz
Z ( z ) A1 cos(
H
z)
15
方程（3-24）
方程 及 H 令 r x d f df 化为零阶贝塞尔方程 x dx x dx x f 0 f ( x) C1 J 0 ( x) C2Y0 ( x) 通解 C1，C2是两个待定常数。J0(x)，Y0(x)分 别是零阶第一类及第二类贝塞尔函数， 它们随x的变化见图3-3。
百度文库
由于B2＞0，所以方程 的通解 可写为 (x)＝AcosBx+CsinBx (3-8) 式中，A和C为待定系数。由边界条件(2)，则 有C＝0。因而式(3—8)可写成下列形式 (x)＝AcosBx
d 2 2 B 0 2 dx
8
由边界条件(1)
a Ba ( ) A cos( ) 0 得 2 2 Ba n 因为A≠0，故有 2 2 n B Bn 因而 a
n=1,3,5
这些常数Bn，称为该方程的本征值，对 应的函数 n(x)＝Acos(Bnx)称为本征值Bn 对应的本征函数。
9
解
对于临界的反应堆，随着时间变大，除 去第一个模态(n=1)外的所有模态(n>1) 都衰减了。渐进的（或持久的）中子通 量密度取决于n=1的模态。于是， B B ( ) B B1 几何曲率 a a 临界系统中的中子通量密度分布为
中子源S主要是增殖介质的裂变源 ka
D 2 (k 1) a 0
k 1 2 D ,L 2 L a
B 0
2 2
B2
2 / 称为曲率，它等于 ，后者表征 B 了中子通量密度空间分布的弯曲程度
2
4
裸堆单群临界方程
裸堆单群临界方程 材料曲率 k 1 2 B L2
D L a
2
k 1 2 2 1 L B
5
3.1.2 平板裸堆
图3-1 无限宽有限厚的平板均匀裸堆
6
3.1.2 平板裸堆
均匀平板的波动方程为
d 2 2 B 0 2 dx
边界条件 1外边界 2 中心处
x a 0
2
d dx
0
x 0
7
解
2
什么是均匀裸堆？
均匀：燃料、慢化剂、结构材料等堆芯 内一切材料均匀混合： 裸堆：没有反射层； 中子源：有增殖介质。 在非均匀堆的研究上，从理论上给出了 均匀堆和非均匀堆的中子通量密度分布 的差别，并对非均匀堆与均匀堆的四因 子公式差别作了简要分析。
3
3.1 均匀裸堆的单群理论
3.1.1 单群扩散方程 D 2 a S 0
2 g 2 1 2
( x) A cos(
a
x)
10
系数A
系数A由功率条件决定。一个系统只要是临界的，则中 子通量密度分布中的A可为任意常数。这个事实表明， 从理论上讲，堆功率是可任意提高的。实际上由于热 工传热条件，燃料制造工艺等工程问题的限制，堆功 率总是限止在某一数值以下。因而系数A也由功率条件 限止为某一数值。 无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为
12
在圆柱形坐标系中
拉普拉氏算符的表达式为
中子通量密度分布是对称的，故与 无关。 因而有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写 为 1 2 2 (1)不计外推长度时，反应堆外边界上，中子 (r , z ) 0 通量密度为零 (r, z) r R 0 (2) 中子通量密度分布对称
1 d 2Z 2 Z dz 2
d 2 f 1 df 2 f 0 2 r dr dr
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方程（3-23）
方程 解 Z ( z) A1 cosz A2 sin z 由边界条件(2)，式(3-20)得A2＝0，则
Z ( z) A1 cosz
z H 2
1 1 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
2
r r
(r
r
)
z
2
B 0
z
z 0
0
r
r 0
0
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二阶偏微分方程
采用分离变量法 (r , z ) f (r )Z ( z ) 1d f 1 df 1d Z B 代入方程(3-16)得到 f dr rf dr Z dz 上式等号左边只与r有关，等号右边只与z 有关。因为r和z是两个彼此无关的独立变 量，要使式(3-22)保持相等关系，只有两 2 边都是常数才行。该常数记为 ,则得到
P Ef f
积分后得
A
a 2 a 2
x ( x)dx E f f A cos( )dx
a 2 a 2
a
P
2aE f f
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3.1.3 有限高圆柱形均匀裸堆
设一有限高圆柱形 均匀裸堆，高为H， 半径为R，如图3-2 所示，采用圆柱形 坐标，坐标原点位 于轴线的半高度上。
2 2 2 2
d 2 f 1 df 2 f 0 2 r dr dr 2 B 2 12 B 2 ( ) 2
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图3-3 零阶贝塞尔函数
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零阶贝塞尔方程解
当x＝0时，J0(0)＝1，而Y0(0)→-∞。 r＝0处堆内中子通量密度有限，所以C2 ＝0。则式(3-32)可写成 f ( x) C1 J 0 ( x) f (r ) C J (R) 0 由边界条件式(3-17) 正如图3-3所示，在x＝x1，x2…等处，函 必须取 数J0(x)为零，即J0(xn)＝0。故 x n 如下的本征值 n n
第3章 核反应堆临界理论
研究均匀裸堆的临界问题。主要研究下 面两个问题： （1）各种形状的反应堆达到临界状态的 条件（临界条件），临界时系统的体积 大小和燃料成分及其装载量； （2）临界状态下系统内中子通量密度 （或功率密度）的分布。
1
研究方法
首先，研究均匀裸堆。 其次，研究带反射层的反应堆。 最后，研究非均匀堆。 方法是先单群，后多群研究。
1 d 2Z 2 2 Z dz
Z ( z ) A1 cos(
H
z)
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方程（3-24）
方程 及 H 令 r x d f df 化为零阶贝塞尔方程 x dx x dx x f 0 f ( x) C1 J 0 ( x) C2Y0 ( x) 通解 C1，C2是两个待定常数。J0(x)，Y0(x)分 别是零阶第一类及第二类贝塞尔函数， 它们随x的变化见图3-3。
百度文库
由于B2＞0，所以方程 的通解 可写为 (x)＝AcosBx+CsinBx (3-8) 式中，A和C为待定系数。由边界条件(2)，则 有C＝0。因而式(3—8)可写成下列形式 (x)＝AcosBx
d 2 2 B 0 2 dx
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由边界条件(1)
a Ba ( ) A cos( ) 0 得 2 2 Ba n 因为A≠0，故有 2 2 n B Bn 因而 a
n=1,3,5
这些常数Bn，称为该方程的本征值，对 应的函数 n(x)＝Acos(Bnx)称为本征值Bn 对应的本征函数。
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解
对于临界的反应堆，随着时间变大，除 去第一个模态(n=1)外的所有模态(n>1) 都衰减了。渐进的（或持久的）中子通 量密度取决于n=1的模态。于是， B B ( ) B B1 几何曲率 a a 临界系统中的中子通量密度分布为
中子源S主要是增殖介质的裂变源 ka
D 2 (k 1) a 0
k 1 2 D ,L 2 L a
B 0
2 2
B2
2 / 称为曲率，它等于 ，后者表征 B 了中子通量密度空间分布的弯曲程度
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裸堆单群临界方程
裸堆单群临界方程 材料曲率 k 1 2 B L2
D L a
2
k 1 2 2 1 L B
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3.1.2 平板裸堆
图3-1 无限宽有限厚的平板均匀裸堆
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3.1.2 平板裸堆
均匀平板的波动方程为
d 2 2 B 0 2 dx
边界条件 1外边界 2 中心处
x a 0
2
d dx
0
x 0
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解
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什么是均匀裸堆？
均匀：燃料、慢化剂、结构材料等堆芯 内一切材料均匀混合： 裸堆：没有反射层； 中子源：有增殖介质。 在非均匀堆的研究上，从理论上给出了 均匀堆和非均匀堆的中子通量密度分布 的差别，并对非均匀堆与均匀堆的四因 子公式差别作了简要分析。
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3.1 均匀裸堆的单群理论
3.1.1 单群扩散方程 D 2 a S 0
2 g 2 1 2
( x) A cos(
a
x)
10
系数A
系数A由功率条件决定。一个系统只要是临界的，则中 子通量密度分布中的A可为任意常数。这个事实表明， 从理论上讲，堆功率是可任意提高的。实际上由于热 工传热条件，燃料制造工艺等工程问题的限制，堆功 率总是限止在某一数值以下。因而系数A也由功率条件 限止为某一数值。 无限长平板堆单位面积所对应的体积所发出的功率为
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在圆柱形坐标系中
拉普拉氏算符的表达式为
中子通量密度分布是对称的，故与 无关。 因而有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写 为 1 2 2 (1)不计外推长度时，反应堆外边界上，中子 (r , z ) 0 通量密度为零 (r, z) r R 0 (2) 中子通量密度分布对称