n阶行列式的微分及微分法计算行列式

n 阶行列式的微分及微分法计算行列式

学生姓名:李金辉 学号:20105031137 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师:戴启学 职称:副教授

摘要:本文介绍了n 阶行列式的求导公式,以及根据所求行列式构造新的函数行列式并用微分法求行列式的值.

关键词:n 阶行列式求导；微分法求行列式

The Differential of Determinant Ranking N and Compute

by Differential

Abstract: This paper introduces the derivation formula of determinant ranking n and how to construct new determinant made of function based on the known determinant and using differential method to evaluate the value of the determinant.

Key Words : determinant ranking n; compute determinant ranking n by differential

前言

对于一般函数的微分,我们可以根据微分基本公式以及微分法则求出,但对于函数的行列式求微分是否有公式可循呢?本文给出了n 阶行列式的求导公式.另外,对于行列式的计算,本文根据所求行列式的特点,介绍用微分来求行列式.

1. n 阶行列式的求导

对于一般的行列式

nn

n n n

n

a a a a a a a a a A

21

22221

11211

=

,其中p a ij 数域∈

()()∑

-=

n

n n

j j j nj j j j j j a a a A 112

1

2

1211τ,（其中n j j j n 1221为的全排列）（行列式的

值为取自不同行不同列的元素乘积的和）.

我们知道对于上述行列式,其值是数域p 中的一个元素,而当数域改变,即所在的

空间改变时,行列式的结果就不再是数域p 中的元素.比如,当()

n ij C C a 1∈时,行列式的值就是一个函数,我们称作行列式函数,这样,对于行列式A 我们就可以运用求导的基本公式来推导出行列式求导运算的公式.接下来本文将推导n 阶行列式的求导公式.

设()1,2,1,C n j i f ij ∈= ,

()()∑

-=

=

n

n n

j j j nj j j j j j nn

n n n n f f f f f f f f f f f f B

2121

2

12121

2222111211

1τ

()()

dx

f f f d dx dB n

n n j j j nj j j j j j ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑ 212121211τ ()()∑∑∏⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-==≠k

i n kj n

k i k ij j j j f f 1'

211 τ ()()∑

∑

∑

=+++---=++--=-=n

i nn

n n n i i i in i i n

i i i n n n

i nj j i ij j i j j j j j f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f n

n

12

1

11211''2'1112

11

2222111211111'

112121

2

11

τ

根据以上推导过程我们可以得到行列式的导数等于各行分别求导后所得行列式的和.

另外,我们知道行列式有很好的对称性质,即行列式的行和列地位等同,所以根据以上对于行的求导公式可以相应得出行列式求导公式的列的表达形式.

所以,对于行列式求导的计算我们可以归纳如下:行列式的导数等于逐行或逐列求导之和.

2.微分在行列式计算中的应用

在上面本文已经介绍了n 阶行列式的求导公式,众所周知,大量数学和物理学问题的解决常常归结到计算一个n 阶行列式的问题,因此,对于一个行列式而言一般需要计算行列式的值.在《高等代数》中利用代数学知识计算行式的方法很多,本文想要将行列式与微分联系在一起,利用微分来计算行列式.

利用微分计算行列式的主要思想:根据所求行列式的特点,构造一个较易求值的行列式函数使得行列式函数在某点的导数值与所求行列式相等,从而把计算行列式的问题转化为行列式导数的计算.利用行列式求导的计算方法:逐行或逐列求导之和.

此法适用于:

⑴行列式函数求导后在某点的导数值刚好是所求行列式与较易求值行列式之和. ⑵构造的行列式函数较易求值. 基于以上本文给出两道例题. 例1 求n 阶行列式的值.

n

n

n

n

n n

n n n

n a a a a a a a a a D

2

11

12

11

21

1

11

---= 解:先构造一个n 阶行列式函数:

()()()()

j i n

j i x a a a n n

n n n n n n n

x

a a a x a n n x

a n x

a n x

a n n x

a n x a n x a n x a x a x a x a x a n a a e a a a a a a a a a e e a e a e a e a e a e a e a e a e a e e e x D n n n n n n -∏==

≤<≤+++------+++------11

1

21

1

22221

211

1

21

12

2

22

12121112121212111

1

每行提取公因子

从而得行列式函数:

()()()j i n

j i x a a a n a a e x D n -∏=≤<≤+++121