3.3泰勒公式

f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0与 x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0 ) (x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2 ( 在 x0与 x
之间)
p1 ( x)
特点: p1(x0 ) f (x0 ) p1(x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
求 n 次近似多项式 pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
f
(x)
f
(x0 ) f ( f (n) (x0 ) (
n!
x0 )(x x x0
x0 )n
) Rn (
f ( 2
x)
x0 !
)
(
x
x0 )2 ①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
n!an a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f (x0 ), , an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742)
在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 .
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f (x) ex
泰勒 (1685 – 1731)
英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有:
《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 .
泰勒(Taylor)中值定理 :
若 f (x) 在包含 x0 的某开区间 (a,b) 内具有 直到 n 1阶的导数 , 则当 x (a ,b)时, 有
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 ) (x 2!
x0 )2
特例:
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f
(n1) (
(n 1)
x) !
x
n1
(0 1)
(2) f (x) sin x
f
(k) (x)
sin( x
k
π 2
)
f
(k)
(0)
sin
k
π 2
0, (1)m1
,
k 2m (m 1, 2,) k 2m 1
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)
m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m (x)
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2 m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (x) f (0)
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1)π)
(2m 1) !
x 2 m 1
(0 1)
麦克劳林公式
f (x) f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
f
(n1) (
(n 1)
x) !
x
n1
(0 1)
(3) f (x) cos x
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x f (x) f (x0 ) f (x0 )(x 若在公式成立的区间上 f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
误差
R1(x)
f
(
2!
)
(
x
x0
)
2
( 在 x0 与 x 之间)
df
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f
(n1) (
(n 1)
x) !
x n1
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x x0 )n ]
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn( x)
pn(n) (x) a0 pn (x0 ) f (x0 ) ,
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2
f (k) (x) e x , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
Rn (x)
e x (n 1) !
x n 1
(0 1)
麦克劳林公式
f (x) f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!