工程力学第9章圆轴的扭转

τ
O τ' dx
τ
c x
τ =τ′
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。 剪切应力状态。
a
τ'
d
τ
b
τ τ'
c
9.4 圆轴扭转时的应力和强度条件
公式推导的思路
平面假定 变 形 应变分布
物性关系
应力分布 静力方程 应力公式
9.4 圆轴扭转时的应力和强度条件
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
d A = 2 πρ d ρ
注意：对于空心圆截面 注意：
O
π 4 4 I p = (D − d ) 32 π 3 3 Wp ≠ (D − d ) 16
D d
五、扭转强度计算 1、强度条件： 强度条件：
τ max ≤ [τ ]
T 变截面圆轴: 变截面圆轴: τ max = W p max
→ τ ρ = Gγ ρ
方向垂直于半径。 方向垂直于半径。
τ = Gγ
dϕ τ ρ = Gρ dx
3、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系 应力的计算公式 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
dϕ T = ∫ A dA ⋅τ ρ ⋅ ρ = G ∫ A ρ 2 dA dx
令
dϕ T = GI p dx dϕ T 扭转变形计算式 扭转变形计算式 = dx GIp dϕ 代入物理关系式 τρ = ρ G dx 得：
+
T
—
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形 扭矩图作法：同轴力图： 扭矩图作法：同轴力图： 作法 例1：一传动轴如图，转速 = 300r/min；主动轮输入的功 ：一传动轴如图，转速n ； 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， ，三个从动轮输出的功率分别为： ， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。 ， 。试作轴的扭矩图。
4
d
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
π 4 = (D − d 4 ) 32
d α= D
D d
I p = ∫ 2 πρ 3 d ρ
D 2 d 2
O
πD 4 (1 − α 4 ) = 32 4 4 3 Ip π(D − d ) πD (1 − α 4 ) Wp = = = D/2 16 D 16
例2、已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件 ， ， 设计实心圆轴与a= 0.9的空心圆轴。 设计实心圆轴与 的空心圆轴。 的空心圆轴 确定实心圆轴直径 解：1. 确定实心圆轴直径
T τmax = 3 πd 16
τ max ≤ [τ ]
T ≤[τ ] π 3 d 16
第9章 章 圆轴的扭转
9.1
圆轴扭转的概念 圆轴扭转的概念
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭
Me
主动力偶 阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭
3、机器中的传动轴工作时受扭
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶， 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
解： 、计算作用在各轮上的外力偶矩 1 M1 M3 M2 B C A D 500 3 M 1 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 15.9kN ⋅ m 300
150 M 2 = M 3 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 4.78kN ⋅ m 100
3
M4
200 M 4 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 6.37kN ⋅ m 300
扭矩图 M2 A B M3 M1 C
6.37
M4 D
T1 = −4.78kN ⋅ m T2 = −9.56kN ⋅ m
T3 = 6.37kN ⋅ m
4.78
T 图(kN·m)
9.56 Tmax = 9.56 kN·m 在BC段内 段内
切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的 称为切应变或 改变量 γ ，称为切应变或 角应变 弧度（rad） 切应变单位为 弧度（rad）
T
x
T =m
内力偶矩——扭矩 T 扭矩 内力偶矩
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。 扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向， 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同 则扭矩规定为正值， 与截面的外法线方向相同， 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。 负值。
微段扭转 变形 dϕ
DD' Rdϕ = γ ≈ tgγ = dx dx
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd ′ = ρ ⋅ dϕ
dx
dx
dϕ γρ = ρBiblioteka Baidudx
dϕ / dx－扭转角变化率 －
2、物理关系：由应变的变化规律 应力的分布规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
τ max ≤ τ P
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
τ
2
dα
T = ∫ τdA.r0 = ∫ τr0 tdα = τr0 t 2π
2 A 0
2π
τ
T τ = 2 2π r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l
ϕ
ϕ为扭转角
r0 γ= ϕ l
ϕ r0 = γ l
即ϕ ∝ γ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— =τ 2 2πr0 t r0 ϕ =γ ϕ l
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 弹性范围内工作。 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 等直的圆轴，
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2 A
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
d 2 0
O
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
Me
mA
阻抗力偶 主动力偶
me
主要发生扭转变形的杆——轴。 轴 主要发生扭转变形的杆
9.2 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩计算 在实际工程中， 在实际工程中，作用于轴上的外力偶矩往往是未知 已知的是轴上的转速以及轴上各轮所传送的功率。 的，已知的是轴上的转速以及轴上各轮所传送的功率。 以右图为例，主动轮 的输入功 以右图为例，主动轮B的输入功 率经轴的传递，由从动轮A、 率经轴的传递，由从动轮 、C 输出给其他构件。 输出给其他构件。 (r／ 其中某一轮传输的 设：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，其中某一轮传输的 功率为 千瓦( 功率为： P千瓦 KW ）实际作用于该轮的外力偶矩 m ，则 千瓦 dW d (mϕ ) dϕ πn P= = =m = mω = m 30 dt dt dt
结论： 结论：
横截面上
Q ε = 0, ∴σ = 0 Q γ ≠ 0 ∴τ ≠ 0
τ τ
D
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布； 根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布 可认为切应力沿壁厚均匀分布, Q t << D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。 且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式： 切应力的计算公式：
变形前
变形后
γ
ϕ
剪切虎克定律 在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。 与切应变成正比关系。
τ <τ p, τ ∝ γ
τ = Gγ
E G= 切变模量 2(1 + µ )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 单元体 Me Me
y a dy b z
τ' τ
O τ' dx
x
T = Me
Me B
1 1 1
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图 扭转杆件的内力 扭矩及扭矩图 1、扭转杆件的内力（截面法） 扭转杆件的内力（截面法） 取左段为研究对象： 取左段为研究对象： m m
∑m
x
= 0, T − m = 0
m T
T =m
取右段为研究对象： 取右段为研究对象：
x
m
∑m
= 0, m−T = 0 x
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
9.3
纯剪切 剪切胡克定律
一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 t ≤ 1 r0 , r0：为平均半径） 为平均半径） 壁厚 10 1、实验： 实验：
2、变形规律： 变形规律：
τ
τ'
γ
τ
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 圆周线 形状 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度， 纵向线 倾斜了同一个角度
定性分析横截面上的应力 （1）Q ε = 0 ∴σ = 0 （2）Q γ ≠ 0 ∴τ ≠ 0 因为同一圆周上剪应变相同， 因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等， 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律： 剪应变的变化规律
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
3
2、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1 1 1
M3 B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3 3
M4 D
T1 = − M 2 = −4.78kN ⋅ m
2 2
M2
T2 x
T2 = − M 2 − M 3 = −9.56kN ⋅ m
T3
3 3
A
M4 D x
T3 = M 4 = 6.37 kN ⋅ m
I p = ∫ A ρ 2dA
T⋅ρ τρ = Ip
圆轴扭转时横截面上任 一点的剪应力计算式。 一点的剪应力计算式。
二、圆轴中τmax的确定 圆轴中 横截面上 — τ max
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩，单位：m 4 , mm 4 截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩 单位： Ip WP —抗扭截面模量，单位 m 3 , mm 3 . WP = 抗扭截面模量， 抗扭截面模量 单位： ρ max Tmax 整个圆轴上——等直杆： τ max = 等直杆： 整个圆轴上 等直杆 WP
30× P×10 P m= = 9549 (N⋅ m ) πn n
3
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号 表示。 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 扭矩 扭矩大小可利用截面法来确定。 扭矩大小可利用截面法来确定。 截面法来确定 Me 1
Me
A Me A T
1 1
B T
等截面圆轴: 等截面圆轴:
2、强度条件应用： 强度条件应用： 1）校核强度: τ max 校核强度:
Tmax τ max = W p
Tmax = WP
≤
[τ ]
2）设计截面尺寸:WP ≥ Tmax 设计截面尺寸:
[τ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP ⋅ [τ ] 确定外荷载:
πD 3 实心 , 16 WP = 3 πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ⇒m