2020年广西省河池市中考数学试卷

2020年广西省河池市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1．（3分）如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）

A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元

2．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角

3．（3分）若y＝有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞0 B．x≥0C．x＞2 D．x≥2

4．（3分）下列运算，正确的是（）

A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a 5．（3分）下列立体图形中，主视图为矩形的是（）

A．B．C．D．

6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）

8．（3分）某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）

A．85，85 B．85，88 C．88，85 D．88，88

9．（3分）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A．B．

C．D．

10．（3分）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

11．（3分）如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）

A．5B．6C．4D．5

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB ＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案写在答题卡上对应的答题区域内．）

13．（3分）计算3﹣（﹣2）＝．

14．（3分）方程＝的解是x＝．

15．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是．

16．（3分）不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是．17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）

19．（6分）计算：（﹣3）0++（﹣3）2﹣4×．

20．（6分）先化简，再计算：+，其中a＝2．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．

（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是）．

（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是）．

（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．

（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．

22．（8分）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE 的数量关系，并说明理由．

23．（8分）某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．

频数分布表

组别分数段划记频数

8

A60＜x≤70

正

15

B70＜x≤80

正正

22

C80＜x≤90

正正正正

5

D90＜x≤100

正

（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；

（2）求扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；

（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80＜x≤100的学生有多少人？

24．（8分）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．

（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；

（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：

y＝a（x﹣p）（x﹣q），

＝ax2﹣a（p+q）x+apq．

（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；

（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F （4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范

围．

答案解析

1、【解答】解：如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作﹣10元．

故选：C．

2、【解答】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第

三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．

故选：A．

3、【解答】解：由题意得，2x≥0，

解得x≥0．

故选：B．

4、【解答】解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；

B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

故选：A．

5、【解答】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，

圆锥的主视图是等腰三角形，

故选：C．

6、【解答】解：，

由①得：x＞1，

由②得：x≤4，

不等式组的解集为：1＜x≤4，

故选：D．

7、【解答】解：如图所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴AB＝＝13，

∴sinB＝＝．

故选：D．

8、【解答】解：将数据85，90，89，85，98，88，80按照从小到大排列是：80，85，85，88，89，90，98，

故这组数据的众数是85，中位数是88，

故选：B．

9、【解答】解：作AB边的垂直平分线，

交AB于点D，

连接CD，

所以CD为△ABC的边AB上的中线．

故选：B．

10、【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：

x（x﹣1）＝36，

化简，得x2﹣x﹣72＝0，

解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），

答：参加此次比赛的球队数是9队．

故选：D．

11、【解答】解：∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，

∴∠BEC＝∠DCE，

∴∠BEC＝∠BCE，

∴BC＝BE＝5，

∴AD＝5，

∵EA＝3，ED＝4，

在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，

∴∠AED＝90°，

∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，

在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．

12、【解答】解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，

∵BF⊥CD，

∴∠CFB＝90°，

∴∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF，

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴，

∵FB＝FE＝2，FC＝1，

∴CE＝CF+EF＝3，BC＝＝＝，∴＝，

∴AC＝，

故选：B．

13、【解答】解：3﹣（﹣2）

＝3+2

＝5．

故答案为：5．

14、【解答】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，

解这个方程，得：x＝﹣3，

经检验，x＝﹣3是原方程的解，

∴原方程的解是x＝﹣3．

故答案为：﹣3．

15、【解答】解：∵菱形ABCD的周长为16，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，

∵OE∥AB，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝AB＝2，

故答案为：2．

16、【解答】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．

故答案为．

17、【解答】解：如图，连接A D．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠1＝∠ADE，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠1＝55°，

∴∠2＝35°，

故答案为35．

18、【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．

在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，

∴AB＝AC?cos30°＝4，

∵BD＝，

∴AD＝AB﹣BD＝3，

∵∠AHD＝90°，

∴DH＝AD＝，

∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝，

∴B′J≥DH﹣DB′，

∴B′J≥，

∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为，

故答案为．

19、【解答】解：原式＝1+2+9﹣2

＝10．

20、【解答】解：原式＝+

＝+

＝，

当a＝2时，原式＝＝3．

21、【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；

（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；

（3）设反比例函数解析式为y＝，

把B（2，3）代入得：k＝6，

∴反比例函数解析式为y＝；

（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，

把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得：，

解得：，

则一次函数解析式为y＝﹣2x．

故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．22、【解答】（1）证明：在△ACE和△BCE中，

∵，

∴△ACE≌△BCE（SAS）；

（2）AE＝BE．

理由如下：

在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，

∵，

∴△ADE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，

∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，

∴AE＝BE．

23、【解答】解：（1）用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格；

故答案为：8，15，22，5；

（2）360°×＝108°，

答：扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数为108°；

（3）2000×＝1080（人），

答：该校2000名学生中，成绩在80＜x≤100的有1080人．

24、【解答】解：（1）甲商店：y＝4x

乙商店：y＝．

（2）当x＜6时，

此时甲商店比较省钱，

当x≥6时，

令4x＝30+3.5（x﹣6），

解得：x＝18，

此时甲乙商店的费用一样，

当x＜18时，

此时甲商店比较省钱，

当x＞18时，

此时乙商店比较省钱．

25、【解答】证明：（1）连接OE，交BD于H，

∵点E是的中点，OE是半径，

∴OE⊥BD，BH＝DH，

∵EF∥BC，

∴OE⊥EF，

又∵OE是半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，

∴OB＝3，

∴BC＝＝＝，

∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，

∴OH＝＝，

∵cos∠OBC＝，

∴＝，

∴BH＝，

∴BD＝2BH＝，

∵CG∥OD，

∴，

∴＝，

∴CG＝．

26、【解答】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，

∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．

（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．

由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），

抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∴D（，），

∵A，C，D共线，CE∥DF，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

经检验，m＝是分式方程的解，

∴m＝．

（3）如图2﹣1，当a＞0时，

设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），

当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，

∴a＝，

观察图象可知当a≥时，满足条件．

如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），

把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，

观察图象可知当a≤﹣时，满足条件，

综上所述，满足条件的a的范围为：a≥或a≤﹣．