第24届北京市高中力学竞赛决赛试题

第24届北京市高中力学竞赛决赛试题

（北京四中杯） （2011年）

一、填空题

1．如图1所示，一根长绳悬吊在定滑轮的两侧，体重相同的甲、乙两人分别抓住绳的一端，甲身体虚弱只能紧紧抓住绳不放，乙身体强壮能用力牵引自己沿绳向上爬行．经过一段时间，乙上升的高度为h ，在这段时间内甲上升的高度__________（填小于、等于或大于）h ，原因是__________________________________________________________________________________________________________________．

2．如图2所示，一个弹簧称上端固定，下端用一根竖直线向下拉弹簧秤，线下端固定，弹簧秤示数为4N ．如果弹簧秤下端悬吊一重为1N 的重物，则弹簧秤示数为__________N ，理由是________________ __________．

3．两个物体各重1m 和2m ，用不可伸长绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r ．如图3所示，开始时，两物体高度差h ，21m m ，不计滑轮质量和摩擦．由静止释放，问两物体达到同一高度所需时间__________．

4．如图4所示，从同一高度的A 、B 处垂下两根长度相同的绳，绳下端分别站有质量相同的甲、乙两人，甲旁的绳可认为不可伸长，乙旁的绳有明显的弹性，当两人分别沿绳爬到A 、B 处时，比较两人做功的多少的结论是__________，理由是____________________．

5．我们可近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动，月球绕地球做匀速圆周运动，它们的运动轨迹在同一个面上，以太阳为参考系，月球的运动轨迹可粗略画成如图5所示的虚线，这种画法__________（填正确或错误），理由______________________________________________________________________．

6．如图6所示，长为L 的一段细线，一端固定在光滑水平面上的O 点，另一端栓住一质量为m 的小物体．开始时，物体距O 点为b ，b L <，给物体一个初速度0v ，θ已知．当物体运动到距O 点为L 时线绷紧，物体绕O 点做半径为L 的圆周运动，此时线的张力等于__________．

二、计算题

7．悬臂架的端部A 和C 处有套环，恰好套在铅垂的圆柱上，可以上下移动．如果在AB 上作用铅垂力F ，如图7所示，当F

离开圆柱较远时，悬臂架将被圆柱上的摩擦力卡住而不能移动．设套环与圆柱间摩擦系数均为μ，架重不计，求：悬臂架不至于被卡住时，铅垂力F

离圆柱的最大距离x ．

8．弹性球自高处h 自由落在水平地板上，球从地板上弹起又垂直落下，这样继续弹跳．如果每次碰撞

前瞬间速度v ，碰后瞬间速度为v ' ()01v k k v

'=-<<

．求弹性球行走的路程？（空气阻力不计）

9．一小球斜向上抛出，抛出的初速度与水平方向的夹角为θ，经过一段时间位移与水平方向夹角为α，速度与水平方向的夹角为β，不计空气阻力，则θ与a β、之间的关系表达式是什么？

10．2011年3月11日日本发生9级大地震，地震引发海啸，导致福岛核电站发生核泄漏．在核泄漏中，有四种放射性同位素是对人体比较有危险的：碘-131、铯-137、锶-90、钚-239．它们放出高能量粒子会对人体造成伤害，导致人体细胞癌变．人体细胞可以看作质量为M 的小球，两细胞间的链接物可看作轻杆（设长度为l ），如图8所示．当质量为m 的高能粒子以速度υ垂直于链接物射向人体细胞，与细胞发生正碰并留在细胞里时，忽略人体其它任何影响，试求两细胞的运动规律和链接物受力大小．

11．有一颗质量为m 的小星体A ．围绕某质量为M ，半径为R 的大星体作半径为2R 的圆周运动．从远处飞来一速度为GM

v R

=

、质量为2m 的星体B 与A 星迎面发生剧烈正碰后形成一个新的星体C ．假定碰撞前后位置未发生变化．

（1）请通过计算判断新的星体C 是否会与大星体发生碰撞． （2）如果B 星从A 星背面恰好沿着A 星的运动方向追上它并发生上述碰撞，请通过计算判断C 是否会与大星体发生碰撞．

第24届北京市高中力学竞赛

决赛试题参考答案

一、填空：

1．等于；绳对甲、乙两人的拉力大小相等．

2．4N ；线长度发生微小缩短，线拉力减小为3N ． 3．()()1221/M M h t h a M M g

+==

- 4．两人做的功相等； 甲与绳、乙与绳的出末状态相同，绳的弹性不影响乙做功多少． 5．错误； 太阳对月球的引力总比地球对月球的引力大，以太阳为参考系月球的运动轨迹总是凸形的． 6．22203

sin mv b l θ

二、计算题：

7． 解：设x 为临界状态时的距离 力平衡0C A N N -= （1） 0A C f f F +-=

（2）

力矩平衡A 为参考点

02C C a N b f a F X ⎛

⎫+-+= ⎪⎝⎭

（3）

A A f N μ=

C C f N μ=

联立：2b X μ=

所以2b X μ

<

8．解：第一次碰撞瞬间速度12v mh = 碰后速度为112v mh '= 1h 为弹起的高度

所以1h k h =

21h k h =

第二次2421h k h k h ==……第N 次221n n n h k h k h -==

所以()

2241222221n S h h h h h k h k k =+++++=++++ ()()22

2

212/11k h k h k h k ⎛⎫

+=+-= ⎪-⎝⎭

9．解：小球的运动情况如图所示，可得 0cos x v t θ=⋅

0sin sin 2

v v y t θβ

+=

sin sin tan 2cos v v y x θβ

αθ+== 又有0cos cos v v θβ= 所以tan 2tan tan θαβ=-

10．解：设链接物长为l

忽略人体其他任何影响，碰撞时动量守恒．有

()2C mv M m v =+

式中C v 为质心的速度，由此得