【大学复变函数课件-洛朗级数】

【大学复变函数课件-洛朗级数】
洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数（）它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；
考虑函数项级数（）作代换则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；
当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。

关于双边幂级数的性质，见p185 定理定理1 （洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。

证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。

由柯西积分公式，其中现考虑而沿，，（在上一致收敛）由于函数沿有界，所以故当：，其中展式的唯一性：设任意取某正整数，在上有界，，故，展式唯一。

注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。

例1、求函数分别在圆环1|z|2及内的洛朗级数式。

解：如果1|z|2，那么利用当时的幂级数展式我们得如果，那么同样，我们有例2、及在内的洛朗级数展式是：
例3、在内的洛朗级数展式是：。

例4、求函数在圆环1|z|3内的洛朗级数展式。

解：由于1|z|3，那么利用当时的幂级数展式我们得，而所以，有第二节解析函数的孤立奇点1．解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。

在D内，f(z)有洛朗展式其中是圆。

例如，0是的孤立奇点。

一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：
⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；
⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；
⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。

例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。

2．孤立奇点的判定定理1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：
，其中是一个复数。

证明：（必要性）。

由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。

（充分性）。

设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。

于是是f(z)的可去奇点。

推论1 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

下面研究极点的特征。

设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：
在这里则在这里是一个在内解析的函数，并且。

反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。

定理2 是f(z)的极点的必要与充分条件是：。

证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。

在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，，于是在内解析，不等于零，而且。

因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：
我们有。

由于在内，，可以设。

由此得，其中在内解析，并且不等
于零。

于是在内，，在这里，在内解析，。

因此是f(z)的m阶极点。

推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。

关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：
定理3 是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。

例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。

解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；
当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；
当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。

第三节解析函数在无穷远点的性质1．解析函数在无穷远点的性质设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。

在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：
其中系数由定理5.1中类似的公式确定。

令，按照R0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：
如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。

因此（1）如果当时n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇点。

（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。

设对于正整数m，，而当nm时，，那么我们称是f(z)的m阶极点。

（3）如果有无限个整数n0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。

注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；
注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：
定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有
限或无穷的极限。

推论设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。

第四节整函数与亚纯函数1．整函数的分类如果f(z)在有限复平面C上解析，则那么它就称为一个整函数。

显然无穷远点是整函数在扩充复平面上唯一的孤立奇点。

我们按孤立奇点的类型，可以将整函数分类：
定理1 设为整函数⑴为的可去奇点（常数）；
⑵为的阶极点即次多项式；
⑶为的本性奇点无穷多个不等于（此时称为超越整函数）例如：；
；
2．亚纯函数的定义与性质如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，无其他类型的奇点那么称它为一个亚纯函数。

亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。

例如是一个亚纯函数，它有极点。

有理函数也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当nm时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。

定理1 为有理函数在扩充复平面上，除极点外没有其他类型的奇点。