湖南省湘潭县一中2020届高三5月模拟考理科数学试题与答案详解
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湘潭县一中 2020 届高三 5 月模拟考试 数学（理科）
本试题卷共 6 页，23 题（含选考题），全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．
1．若集合 A {x R | y lg(3x 2)}, B x R | x2 x 6 0 ，则 A∩B （ ）
年广告费用 x （万元）
4
2
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
5
年销售额 y （万元）
49
m
39 54
经测算，年广告费用 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 yˆ 9.4x 9.1 ，则 m 的值为________．
14．若等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 S2 6, a5 S4 15 ，则 a4 S3 _______．
（1）求 f (x) 的单调递减区间；
（2）在 ABC 中，a,b, c 分别为角 A, B, C 的对边，B 且满足 a cos C 1 c b ，求 f (B) 的取值范围．
6
2
18．（12 分）
如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB / /CD, AB 4, BC CD 2 ，顶点
D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C ．
（1）求证： AC 平面 BCD1 ；
（2）若直线 DD1 与底面 ABCD 所成的角为 4 ，求平面 ABC1D1 与平面 BCD1 所成锐二面角的余弦值．
19．（12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，过椭圆
A
(x,
y)
|
x2
(y
1)2
1或
x2
(y
1)2 1
，设点
(x,
y)
A
，则
z
2x
y
的最大值与最小值之和
x0
是（ ）
A．1 2 5
B．1 5
C．1 5
D．1 2 5
10．如图，在
ABC
中，
BD
2
BC,
E
为线段
AD
上的动点，且
CE
xCA
yCB
，则
1
3
的最小值
3
xy
为（ ）
A．8
12．已知函数 f (x) 2x ln x ax ，过点 P(1, 2) 可作两条直线与 f (x) 的图象相切，则 a 的取值范围是
（）
A．[2, )
B． (2, )
C． (, 2]
D． (, 2)
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．
13．某产品的年广告费用 x 与年销售额 y 的统计数据如下表
(SARS ) 等较严重疾病．而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒 (2019 nCoV ) 是以前从未在人体中
B．9
C．12
D．16
1l．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l, P 为 C 上一点，PQ 垂直 l 于点 Q, M , N 分别为 PQ, PF
的中点， MN 与 x 轴相交于点 R ，若 NRF 60 ，则 PQF 的面积等于（ ）
A． 3
B． 2 3
C． 4 3
D． 8 3
命题 q :ABC 中， a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，则“ a b ”是“ cos A cos B ”的充要条件．
则下列命题中的真命题是（ ）
A． p
B． p q
C． p (q)
D． (p) q
4．右图是一程序框图，若输出的 A 12 ，则输入的 A 值为（ ） 29
A． 2 5
B． 5 12
C． 29 60
D． 1 2
5．在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始边与 x 的非负半轴重合，终边经过点 P(2, 3) ，则
cos
2
2
的值为（
）
A． 2 3 7
B． 2 3 7
C． 4 3 7
D． 4 3 7
6．函数
f
(x)
4x sin x 2x 2x
(x [ , 0) (0, ])
15．三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 AC 3, BC 1, AB AA1 2 ，若该三棱柱的所
有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________．
16．已知双曲线
E
:
x2 a2
y2
1(a
0) 的左、右焦点分别为
F1,
F2 ,
则 MF1 MF2 的取值范围为_____________．
M
在
E
的左支上，F1MF2
6
, 3
，
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）
已知函数 f (x) sin x(sin x 3 cos x) 1 ． 2
1
A．
4
1
B．
3
1
C．
2
5
D．
12
49．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、
气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一
起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为
x2 y2 4
C
的左、右焦点
F1,
F2
分别作倾斜角为
6
的直
线 l1, l2 ，且 l1, l2 之间的距离为 1． （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，求点 F1, F2 到直线 l 的距离之积．
20．（12 分）
冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征 (MERS ) 和严重急性呼吸综合征
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
7．设数列an 中， a1 2,
an
1 an1
1 （ n 2 且 n N *
），则 a2020
（
）
A． 1
1
B．
2
C．2
5
D．
2
8．在二项式
x
1 2 4
x
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项随机排成一列，
则恰有两项有理项相邻的概率为（ ）
A．{x R | x 2}
B．{x R | 2 x 1}
C．
x
R
|
2 3
x
3
D．{x R | x 3}
2．已知复数
z
2i (1 i)3
，则
z
的虚部为（
）
A． 1 2
1
B．
2
3．现有如下命题：
C． 1 i 2
D． 1 i 2
命题 p :“ x0 (, 0], ln x0 x0 0 ”的否定为“ x (0, ), ln x x 0 ”；
本试题卷共 6 页，23 题（含选考题），全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．
1．若集合 A {x R | y lg(3x 2)}, B x R | x2 x 6 0 ，则 A∩B （ ）
年广告费用 x （万元）
4
2
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
5
年销售额 y （万元）
49
m
39 54
经测算，年广告费用 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 yˆ 9.4x 9.1 ，则 m 的值为________．
14．若等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 S2 6, a5 S4 15 ，则 a4 S3 _______．
（1）求 f (x) 的单调递减区间；
（2）在 ABC 中，a,b, c 分别为角 A, B, C 的对边，B 且满足 a cos C 1 c b ，求 f (B) 的取值范围．
6
2
18．（12 分）
如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB / /CD, AB 4, BC CD 2 ，顶点
D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C ．
（1）求证： AC 平面 BCD1 ；
（2）若直线 DD1 与底面 ABCD 所成的角为 4 ，求平面 ABC1D1 与平面 BCD1 所成锐二面角的余弦值．
19．（12 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 2
，过椭圆
A
(x,
y)
|
x2
(y
1)2
1或
x2
(y
1)2 1
，设点
(x,
y)
A
，则
z
2x
y
的最大值与最小值之和
x0
是（ ）
A．1 2 5
B．1 5
C．1 5
D．1 2 5
10．如图，在
ABC
中，
BD
2
BC,
E
为线段
AD
上的动点，且
CE
xCA
yCB
，则
1
3
的最小值
3
xy
为（ ）
A．8
12．已知函数 f (x) 2x ln x ax ，过点 P(1, 2) 可作两条直线与 f (x) 的图象相切，则 a 的取值范围是
（）
A．[2, )
B． (2, )
C． (, 2]
D． (, 2)
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．
13．某产品的年广告费用 x 与年销售额 y 的统计数据如下表
(SARS ) 等较严重疾病．而今年初出现并在全球蔓延的新型冠状病毒 (2019 nCoV ) 是以前从未在人体中
B．9
C．12
D．16
1l．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l, P 为 C 上一点，PQ 垂直 l 于点 Q, M , N 分别为 PQ, PF
的中点， MN 与 x 轴相交于点 R ，若 NRF 60 ，则 PQF 的面积等于（ ）
A． 3
B． 2 3
C． 4 3
D． 8 3
命题 q :ABC 中， a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，则“ a b ”是“ cos A cos B ”的充要条件．
则下列命题中的真命题是（ ）
A． p
B． p q
C． p (q)
D． (p) q
4．右图是一程序框图，若输出的 A 12 ，则输入的 A 值为（ ） 29
A． 2 5
B． 5 12
C． 29 60
D． 1 2
5．在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始边与 x 的非负半轴重合，终边经过点 P(2, 3) ，则
cos
2
2
的值为（
）
A． 2 3 7
B． 2 3 7
C． 4 3 7
D． 4 3 7
6．函数
f
(x)
4x sin x 2x 2x
(x [ , 0) (0, ])
15．三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱垂直于底面，且 AC 3, BC 1, AB AA1 2 ，若该三棱柱的所
有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________．
16．已知双曲线
E
:
x2 a2
y2
1(a
0) 的左、右焦点分别为
F1,
F2 ,
则 MF1 MF2 的取值范围为_____________．
M
在
E
的左支上，F1MF2
6
, 3
，
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）
已知函数 f (x) sin x(sin x 3 cos x) 1 ． 2
1
A．
4
1
B．
3
1
C．
2
5
D．
12
49．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、
气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一
起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为
x2 y2 4
C
的左、右焦点
F1,
F2
分别作倾斜角为
6
的直
线 l1, l2 ，且 l1, l2 之间的距离为 1． （1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，求点 F1, F2 到直线 l 的距离之积．
20．（12 分）
冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征 (MERS ) 和严重急性呼吸综合征
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
7．设数列an 中， a1 2,
an
1 an1
1 （ n 2 且 n N *
），则 a2020
（
）
A． 1
1
B．
2
C．2
5
D．
2
8．在二项式
x
1 2 4
x
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项随机排成一列，
则恰有两项有理项相邻的概率为（ ）
A．{x R | x 2}
B．{x R | 2 x 1}
C．
x
R
|
2 3
x
3
D．{x R | x 3}
2．已知复数
z
2i (1 i)3
，则
z
的虚部为（
）
A． 1 2
1
B．
2
3．现有如下命题：
C． 1 i 2
D． 1 i 2
命题 p :“ x0 (, 0], ln x0 x0 0 ”的否定为“ x (0, ), ln x x 0 ”；