上海交通大学2015-2末 高数试卷(A类)

2015级高等数学第二学期期末试卷(A 类)

一、单项选择题 (每小题3分，共15分)

1. 设232ln(3)z x x y =-，则(1,0)x z = ( )

(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1.

2. 设L 为曲线22290

x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则222(3)d L x y z s --=⎰ ( )

(A) 27π； (B) 18π； (C) 12π； (D) 6π。

3. 设∑

是正圆锥面1)z z =≤≤,则曲面积分d z S ∑

=⎰⎰ ( )

(A)3；

(B)3

；

； (D)π。 4. 下列命题中，正确命题的个数为 ( )

① 若0n n x ∞=∑收敛，且lim 1n n y →∞=，则0

n n n x y ∞=∑收敛；

② 如果()f x 在[1,1]-上有各阶导数，则()0(0)(), [1,1].!k k k f f x x x k ∞==∈-∑

③ 若级数1n n a ∞=∑,

1n n b ∞=∑都收敛，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤=⋅⋅⋅，则1n n c ∞

=∑也收敛。 (A)0； (B)3； (C)2； (D)1。

5. 已知级数和16212n n =∞∑=π，则级数和12121()n n -=∞∑是： ( ) (A)π2

16； (B)π212； (C)π2

8； (D)2

4π.

二、填空题 (每小题3分，共15分)

6. 函数22(,)f x y x xy y =+-在点(1,1)-处的最大变化率为：___________.

7. 设区域D 由曲线2241x y +=围成，则(4)d d D

xy x y +=⎰⎰__________.

8. 设三角形ABC 的三个顶点为(2,0),(1,1),(0,0)A B C ，L 为三角形ABC 区域的正向边界，则曲线积分22()d (22)d L

x y x x xy y -+-=⎰____________.

9. 微分方程(2)d (2)d 0x y x x y ++-=的通解为: _________________________.。

10. 若级数0n n a ∞=∑条件收敛，则幂级数0n n n a x ∞

=∑的收敛半径R =___________.

三、(本大题共8分)

11. 设方程2(e ,2)0z F z x y --=确定了可微的隐函数(,)z z x y =，其中(,)F x y 具有连续的偏导数，求

, .z z x y

∂∂∂∂

四、(本大题共18分，其中第12题8分，第13题10分) 12. (1) 将曲线221:21

x y C y z ⎧+=⎨-=⎩表示为参数方程；

(2) 计算曲线积分(1)d (31)d d C

y x x y z z -++-⎰，

其中C 为(1)中曲线, 从z 轴正向往负向看去，C 是逆时针方向的.

13. 计算曲面积分222(3)d d (2)d d (1)d d S

x y z y z x z x y z x y -+-+---⎰⎰， 其中曲面S 是抛物面221(13)z x y z =++≤≤的下侧。

五、(本大题共18分，其中第14题10分，第15题8分)

14. 确定常数a ，使得在右半平面(0x >)内，曲线积分2

4242d d L axy x x y x y x y

-++⎰

与路径无关，并计算曲线积分24242(1, 1)

d d axy x x y x y x y -++⎰. 15. 求函数项级数121(1)(1)3

n n n n x x n -∞=-++⋅∑的收敛域.

六、(本大题共18分，其中第16题8分，第17题10分)

16. 求级数21011(1)()215

n

n n n ∞+=-+∑的和. 17. (1) 将2()ln(16)f x x x =+-展开为麦克劳林级数；

(2) 对(1)中的()f x ，求(2016)(0).f

七、证明题 (本题8分)

18. 若级数1n n u ∞

=∑的通项n u 与前n 项部分和n S 有如下关系

222, 2,3,n n n n S u S u n =-=⋅⋅⋅，且12u =.

(1) 请建立n S 的递推关系式，并证明极限lim n n S →∞

存在； (2) 证明：级数1n n n u S ∞

=∑收敛。