反三角函数典型例题

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反三角函数典型例题

例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1

）（2）arcsin

4

π

；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。

例2：求下列反正弦函数值 （1

）= 解：3

π

（2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π-

（4）arcsin1= 解：2

π 点评：熟练记忆：0，1

2

±

、

，，1±的反正弦值。

思考：1sin(arcsin

)24

π

+该如何求

例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x

(1)sin x =

，x [,]22

ππ∈- 解：x ＝

变式：x [,]2

π∈π

解：x [,]2π∈π时，π－x [0,]2π∈，sin(π－x)＝sinx

＝

5

∴π－x

＝arcsin

5，则x ＝π－

arcsin 5

变式：x [0,]∈π 解：x ＝

或x ＝π－

(2)1

sin x 4

=-

，x [,]22ππ∈- 解：1x arcsin 4=-

变式：1

sin x 4=-，3x [,2]2

π∈π 解：3x [

,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝14

∴2π－x ＝arcsin

14，则x ＝2π－arcsin 1

4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------22

点评：当x [,]22ππ∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ∉-，可以将角转化到区间[,]22

ππ-上，再用诱导公式

处理对应角之三角比值即可。

练习：

(1)sin x 2=

，x [,]22ππ

∈- 解：x 3

π=

(2)sin x =

，x [0,]∈π

解：x =

x =π- (3)3sin x 5=-，3x [,

]22ππ∈ 解：3

x arcsin 5

=π+

例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。

解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22

ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。 变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22

ππ∈--+ 思考：当3x [,

]44

ππ

∈-时，求函数y arcsin(cosx)=的值域。 解：当3x [,

]44ππ∈

-时t cos x [2=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42

ππ∈-。

例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2

π∈π

解：y [0,1]∈，x [,0]2

π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，

则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈

解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2

π∈。

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[例6] 求下列反三角函数的值：

(1) ＝6

π

(2) arccos(＝

34

π

（两种方法） (3) arccos0＋arctan1＝

34

π

(4) arctan(＝3

π-

(5) arcsin (－12

)＋arccos (－12

)＝

2

π

(6) 5arctan(tan

)6π＝6

π-

[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ： (1) 1cos x 3

=，x [0,]∈π 解：1x arccos 3

=

变式：1cos x 3

=-，x [,2]∈ππ

解：1x 2arccos 3

=π- (2) tan x 2,x (,)22

ππ=-∈-

解：x arctan(2)=-

变式：3x (,

)22

ππ

∈ 解：x arctan2=π+

[例8] (1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，求x 的取值范围。 解：由11x x 1-≤-≤≤，得

1

x 12

≤≤。 (2) arccosx arccos(1x)>-

解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2

≤<

。 (3) arctan x 3

π

> 解

：x > (4) arccosx 3

π

>

解：11x 2

-≤<

[例9 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。 解：∵－1≤x ≤1 ∴－

34π≤y ≤34

π ——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性

[例10] 求下列各式的值：

(1) sin(arccos(