第九章 薄板弯曲问题
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上式对z积分
δ2 E z3 4 σz = z w + F3 ( x, y ) 2 3 2 (1 ) 4
（e）
弹性力学简明教程
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
利用板下板面的边界条件确定待定函数 F3 ( x, y )
NORTHEASTERN UNIVERSITY
( 下板面的应力边界条件：σ z ) z = δ = 0
将上两式积分
NORTHEASTERN UNIVERSITY
Ez 2 2 τ zx = w + F1 ( x, y ) 2 2 (1 ) x Ez 2 2 w + F2 ( x, y ) τ zy = 2 2 (1 ) y
利用应力边界条件确定函数 F1 ( x, y )，F2 ( x, y ) 板上下边界的应力边界条件
把（9－4）代入上式
τ zx Ez 3 w 3 w Ez 2 = w + = 2 3 2 2 z 1 x xy 1 x τ zy Ez 3 w 3 w Ez 2 = + = w 2 3 2 2 z 1 y yx 1 y
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 w = w ( x , y ) 为基本
w 表示其它未知函数：
（1）纵向位移： u , v
（2）主要应变分量：ε x , ε y , γ xy （3）主要应力分量： σ x , σ y ,τ xy （4）次要应力分量：
τ zx ,τ zy
（5）更次要应力分量： z σ 怎么表示？？－－利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 空间问题的基本方程
2
求出 F3 ( x, y ) 代入（e）
δ 2 E δ 1 3 δ 3 4 σz = z z w 2 2 3 8 2 (1 ) 4 Eδ 3 1 z = 2 6 (1 ) 2 δ
2
z 1 + 4 w δ
（9－6） 9 6
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§9－1 有关概念及计算假定 9
为弹性曲面的法线。 由于不计
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结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成
σ z 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的
物理方程是相同的。
1 (σ x σ y ) E 1 ε y = (σ y σ x ) E 2 (1 + ) γ xy = τ xy E
w w z, u = z 代入几何方程（7－8） y x
v u 2w = + = 2 x y xy
u 2w εx = = 2 z x x v 2w εy = = 2 z y y
（a）
γ xy
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（3）用挠度 w 表示主要应力分量 σ x , σ y ,τ xy 由物理方程（9－2）知
w
（3）根据（9－4）－（9－6）求得应力分量。 （4）弹性曲面微分方程（9－8）＋侧面的位移边界条件，构成了薄 板弯曲问题按位移求解的一般提法。
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
薄板横截面上的内力（薄板内力） 薄板横截面上的内力 是指薄板横截面的单位宽度上，由 应力合成的主矢量和主矩。
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薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。 薄板 薄板的弹性曲面： 薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。 挠度： 挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。
0
δ /2 δ /2
x
b
y
z
图9－1
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§9－1 有关概念及计算假定 9
应用假定（3）知， f1 ( x, y ) = 0, f 2 ( x, y ) = 0 纵向位移
u, v
w w v= z, u = z y x
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（2）用挠度 w 表示主要应变分量 把 v=
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ε x , ε y , γ xy
（9－9）
2w 2w 2w 2 w M x = D 2 + 2 , M y = D 2 + 2 y x x y 2w M xy = M yx = D (1 ) xy 2 2 FSx = D w, FSy = D w x y
（9－7） （9－8） （9－9）
D 4 w = q
Eδ 3 D= 12 (1 2 )
D：薄板的弯曲刚度，量纲 L2 MT 2 ，（9－8）：薄板的弹性曲面微分方程 弹性曲面微分方程
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
小结： 小结：
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（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和上下板面 的只要应力边界条件。 （2）弹性曲面微分方程（9－8）＋主要边界的应力边界条件＋侧面 的位移边界条件
（a）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（2）应力分量 τ xy
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τ 由公式（9－4）知， xy 合成的主矢量为零；
应力分量 τ xy 合成横截面内的扭矩
M xy = ∫
δ 2
δ 2
zτ xy dz
把（9－4）代入上式
E 2w δ 2 2 M xy = ∫δ 2 z dz 1 + xy Eδ 3 2w = 12 (1 + ) xy
σx = σ
y
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
E (ε x + ε y ) 1 2 E = (ε y + ε x ) 1 2 E = γ xy 2 (1 + )
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（9－2）
τ xy
把（a）代入物理方程
Ez 2 w 2w σx = + 2 1 2 x 2 y Ez 2 w 2w + 2 σy = 2 2 1 y x Ez 2 w τ xy = 1 + xy
εx =
（9－2）
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§9－1 有关概念及计算假定 9
(u )
z =0
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（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
= 0,
= 0, = 0, =0
(ν )
z =0
=0
所以由几何方程可以得出：
(ε )
(ε ) (γ )
x z =0
y z =0 xy z = 0
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但 它在 xy 面上投影的形状却保持不变。
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
未知函数。 用
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σ 由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
Mx = ∫
δ 2
δ 2
zσ x dz
把（9－4）代入上式
E 2w 2w δ 2 2 Mx = + 2 ∫ z dz 2 2 1 x y δ 2 Eδ 3 2 w 2w = + 2 2 2 y 12 (1 ) x
（9－4）
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（4）用挠度 w 表示次要应力分量
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τ xz ,τ yz
利用平衡微分方程（7－1）的前两式（不考虑体力）
τ zy σ y τ xy τ zx σ x τ yx = , = z x y z y x
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（1）用挠度 w 表示纵向位移 u , v 由假定（2）知
NORTHEASTERN UNIVERSITY
γ zx = 0, γ yz = 0
代入几何方程（7－8）
u w w v + = 0, + =0 z x y z
移项，积分： = v
w w z + f1 ( x, y ) , u = z + f 2 ( x, y ) y x
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取图（9－2）所示的微元 yz 面上的应力：σ x ,τ xy ,τ xz xz 面上的应力：σ y ,τ yx ,τ yz 下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩 图（9－2）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（1）应力分量 σ x
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计算假定： 计算假定： 薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。 （1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
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0
δ /2 δ /2
x
b
εz = 0
由几何方程可得 y
z
图9－1
w = 0, w = w ( x, y ) z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同 的位移，其值等于轴线的挠度。
（b）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（2）应力分量 τ xz
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应力分量 τ xz 只可能合成横向剪力，在单位宽度上
Fsx = ∫
δ 2
δ 2
τ xz dz
将（9－5）的第一式代入，并对z积分
E 2 δ 2 2 δ2 w∫ z dz Fsx = 2 δ 2 4 2 (1 ) x Eδ 3 2 = w 2 12 (1 ) x
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§9－1 有关概念及计算假定 9
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（2）应力分量τ zx ,τ zy 和σ z 远小于其余三个应力分量，因而是次要 的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
γ zx = 0, γ yz = 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
（d）
M yx = ∫ Fsy = ∫
δ 2
δ
（e） （f）
δ 2
δ
Eδ 3 2 τ yz dz = w 2 2 12 (1 ) y
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
将（9－9）代入（a）－（f）
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Eδ 3 D= 12 (1 2 )
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
下面推导
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w
的微分方程
利用薄板的上板面的应力边界条件
(σ z ) z = δ
= q
（f）
2
q 其中， 是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。
将 σ z 的表达式（9－6）代入式（f）
Eδ 3 4 w = q 12 (1 2 )
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（5）用挠度 w 表示更次要应力分量 σ z
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利用平衡微分方程（7－1）的第三式（不考虑体力）
τ xz τ yz σ z = z x y
（c）
将应力分量（9－5）代入（c）
δ2 σ z E = z 2 4 w z 2 (1 2 ) 4
(τ zx ) z =± δ
= 0,
τ zx ,τ zy 表达式为：
τ zx τ zy
2 δ2 E z = 2 4 2 (1 )
2
(τ )
zy z =± δ 2
=0
2 w x 2 2 δ 2 E = z w 2 4 y 2 (1 )
（9－5）
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第九章 薄板弯曲问题
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第九章 薄板的弯曲问题
§9-1 有关概念及计算假定 §9-2 弹性曲面的微分方程 §9-3 薄板截面上的内力 §9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
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§9－1 有关概念及计算假定 9
一、基本概念 中面：平分板厚度t的平面简称为中面。 中面
（c）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
My = ∫
δ 2
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σ 同理，在xz面上（y为常量） y ,τ yx ,τ yz 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。
δ
Eδ 3 2 w 2w zσ y dz = + 2 2 2 2 x 12 (1 ) y Eδ 3 2w zτ yx dz = = M xy 2 12 (1 + ) xy
δ2 E z3 4 σz = z w + F3 ( x, y ) 2 3 2 (1 ) 4
（e）
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
利用板下板面的边界条件确定待定函数 F3 ( x, y )
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( 下板面的应力边界条件：σ z ) z = δ = 0
将上两式积分
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Ez 2 2 τ zx = w + F1 ( x, y ) 2 2 (1 ) x Ez 2 2 w + F2 ( x, y ) τ zy = 2 2 (1 ) y
利用应力边界条件确定函数 F1 ( x, y )，F2 ( x, y ) 板上下边界的应力边界条件
把（9－4）代入上式
τ zx Ez 3 w 3 w Ez 2 = w + = 2 3 2 2 z 1 x xy 1 x τ zy Ez 3 w 3 w Ez 2 = + = w 2 3 2 2 z 1 y yx 1 y
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 w = w ( x , y ) 为基本
w 表示其它未知函数：
（1）纵向位移： u , v
（2）主要应变分量：ε x , ε y , γ xy （3）主要应力分量： σ x , σ y ,τ xy （4）次要应力分量：
τ zx ,τ zy
（5）更次要应力分量： z σ 怎么表示？？－－利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。 空间问题的基本方程
2
求出 F3 ( x, y ) 代入（e）
δ 2 E δ 1 3 δ 3 4 σz = z z w 2 2 3 8 2 (1 ) 4 Eδ 3 1 z = 2 6 (1 ) 2 δ
2
z 1 + 4 w δ
（9－6） 9 6
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§9－1 有关概念及计算假定 9
为弹性曲面的法线。 由于不计
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结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成
σ z 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的
物理方程是相同的。
1 (σ x σ y ) E 1 ε y = (σ y σ x ) E 2 (1 + ) γ xy = τ xy E
w w z, u = z 代入几何方程（7－8） y x
v u 2w = + = 2 x y xy
u 2w εx = = 2 z x x v 2w εy = = 2 z y y
（a）
γ xy
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（3）用挠度 w 表示主要应力分量 σ x , σ y ,τ xy 由物理方程（9－2）知
w
（3）根据（9－4）－（9－6）求得应力分量。 （4）弹性曲面微分方程（9－8）＋侧面的位移边界条件，构成了薄 板弯曲问题按位移求解的一般提法。
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
薄板横截面上的内力（薄板内力） 薄板横截面上的内力 是指薄板横截面的单位宽度上，由 应力合成的主矢量和主矩。
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薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。 薄板 薄板的弹性曲面： 薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。 挠度： 挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。
0
δ /2 δ /2
x
b
y
z
图9－1
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§9－1 有关概念及计算假定 9
应用假定（3）知， f1 ( x, y ) = 0, f 2 ( x, y ) = 0 纵向位移
u, v
w w v= z, u = z y x
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（2）用挠度 w 表示主要应变分量 把 v=
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ε x , ε y , γ xy
（9－9）
2w 2w 2w 2 w M x = D 2 + 2 , M y = D 2 + 2 y x x y 2w M xy = M yx = D (1 ) xy 2 2 FSx = D w, FSy = D w x y
（9－7） （9－8） （9－9）
D 4 w = q
Eδ 3 D= 12 (1 2 )
D：薄板的弯曲刚度，量纲 L2 MT 2 ，（9－8）：薄板的弹性曲面微分方程 弹性曲面微分方程
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
小结： 小结：
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（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和上下板面 的只要应力边界条件。 （2）弹性曲面微分方程（9－8）＋主要边界的应力边界条件＋侧面 的位移边界条件
（a）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（2）应力分量 τ xy
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τ 由公式（9－4）知， xy 合成的主矢量为零；
应力分量 τ xy 合成横截面内的扭矩
M xy = ∫
δ 2
δ 2
zτ xy dz
把（9－4）代入上式
E 2w δ 2 2 M xy = ∫δ 2 z dz 1 + xy Eδ 3 2w = 12 (1 + ) xy
σx = σ
y
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
E (ε x + ε y ) 1 2 E = (ε y + ε x ) 1 2 E = γ xy 2 (1 + )
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（9－2）
τ xy
把（a）代入物理方程
Ez 2 w 2w σx = + 2 1 2 x 2 y Ez 2 w 2w + 2 σy = 2 2 1 y x Ez 2 w τ xy = 1 + xy
εx =
（9－2）
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§9－1 有关概念及计算假定 9
(u )
z =0
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（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：
= 0,
= 0, = 0, =0
(ν )
z =0
=0
所以由几何方程可以得出：
(ε )
(ε ) (γ )
x z =0
y z =0 xy z = 0
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但 它在 xy 面上投影的形状却保持不变。
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
未知函数。 用
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σ 由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
Mx = ∫
δ 2
δ 2
zσ x dz
把（9－4）代入上式
E 2w 2w δ 2 2 Mx = + 2 ∫ z dz 2 2 1 x y δ 2 Eδ 3 2 w 2w = + 2 2 2 y 12 (1 ) x
（9－4）
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（4）用挠度 w 表示次要应力分量
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τ xz ,τ yz
利用平衡微分方程（7－1）的前两式（不考虑体力）
τ zy σ y τ xy τ zx σ x τ yx = , = z x y z y x
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§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（1）用挠度 w 表示纵向位移 u , v 由假定（2）知
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γ zx = 0, γ yz = 0
代入几何方程（7－8）
u w w v + = 0, + =0 z x y z
移项，积分： = v
w w z + f1 ( x, y ) , u = z + f 2 ( x, y ) y x
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取图（9－2）所示的微元 yz 面上的应力：σ x ,τ xy ,τ xz xz 面上的应力：σ y ,τ yx ,τ yz 下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩 图（9－2）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（1）应力分量 σ x
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计算假定： 计算假定： 薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。 （1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
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0
δ /2 δ /2
x
b
εz = 0
由几何方程可得 y
z
图9－1
w = 0, w = w ( x, y ) z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同 的位移，其值等于轴线的挠度。
（b）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
（2）应力分量 τ xz
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应力分量 τ xz 只可能合成横向剪力，在单位宽度上
Fsx = ∫
δ 2
δ 2
τ xz dz
将（9－5）的第一式代入，并对z积分
E 2 δ 2 2 δ2 w∫ z dz Fsx = 2 δ 2 4 2 (1 ) x Eδ 3 2 = w 2 12 (1 ) x
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§9－1 有关概念及计算假定 9
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（2）应力分量τ zx ,τ zy 和σ z 远小于其余三个应力分量，因而是次要 的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
γ zx = 0, γ yz = 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
（d）
M yx = ∫ Fsy = ∫
δ 2
δ
（e） （f）
δ 2
δ
Eδ 3 2 τ yz dz = w 2 2 12 (1 ) y
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将（9－9）代入（a）－（f）
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Eδ 3 D= 12 (1 2 )
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下面推导
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w
的微分方程
利用薄板的上板面的应力边界条件
(σ z ) z = δ
= q
（f）
2
q 其中， 是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。
将 σ z 的表达式（9－6）代入式（f）
Eδ 3 4 w = q 12 (1 2 )
§9－2 弹性曲面的微分方程 9
（5）用挠度 w 表示更次要应力分量 σ z
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利用平衡微分方程（7－1）的第三式（不考虑体力）
τ xz τ yz σ z = z x y
（c）
将应力分量（9－5）代入（c）
δ2 σ z E = z 2 4 w z 2 (1 2 ) 4
(τ zx ) z =± δ
= 0,
τ zx ,τ zy 表达式为：
τ zx τ zy
2 δ2 E z = 2 4 2 (1 )
2
(τ )
zy z =± δ 2
=0
2 w x 2 2 δ 2 E = z w 2 4 y 2 (1 )
（9－5）
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第九章 薄板弯曲问题
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第九章 薄板的弯曲问题
§9-1 有关概念及计算假定 §9-2 弹性曲面的微分方程 §9-3 薄板截面上的内力 §9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
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§9－1 有关概念及计算假定 9
一、基本概念 中面：平分板厚度t的平面简称为中面。 中面
（c）
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§9－3 薄板横截面上的内力 9
My = ∫
δ 2
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σ 同理，在xz面上（y为常量） y ,τ yx ,τ yz 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。
δ
Eδ 3 2 w 2w zσ y dz = + 2 2 2 2 x 12 (1 ) y Eδ 3 2w zτ yx dz = = M xy 2 12 (1 + ) xy