2018年太原市初中数学竞赛(含答案)
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2018年太原市初中数学竞赛
一、选择题:(每小题7分,共42分) 1、若01,21a b <<-<<-,则
1212a b a b
a b a b
-++-+-++的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、-2 D 、-3
2、设,αβ是方程22320x x --=的两个实数根,则
αβαβ
+的值是( )
A 、-1
B 、1
C 、23-
D 、23
3、如图1,在ABC 中,60,80,A C C ∠=︒∠=︒∠的平分线与A ∠的外角平分线交于点D ,连结BD ,则tan BDC ∠的值是( ) A 、1 B 、
12 C
、3
B
(1)
D
C
A
B
(2)
D
C
A
4、如图是一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,且边长都相等,则白皮的块数是(
) A 、22 B 、20 C 、18 D 、16
5、如图2,已知ABC 中,90,5,C AC BC ∠=︒==以C 为圆心、BC 为半径作圆交BA 的延长线于点D 。则AD 的长为( ) A 、
37 B 、57 C 、73
D 、5
3
6=,则此方程的正整数解的组数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题:(每小题7分,共42分)
1、如图3,圆中两条相交线将圆内区域分为4个部分,请在圆中再画三条线,将圆内区域
分为15个部分。
(3)
(4)
B
(5)
C
A
M
2、已知k 为整数。若关于x 的二次方程2(23)10kx k x +++=有有理根,则k 的值是 .
3、已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 、BD 交于点O ,AOD ∆和AOB ∆的面积分别为9和12。则梯形ABCD 的面积是 .
4、设二次函数2
2
2(0)2
a y x ax a =++<的图像顶点为A ,与x 轴交点为B 、C 。当ABC ∆为等边三角形时,a 的值为 .
5、连结正方形两组对边上的对应三等分点,得图4,则由图中所有线段构成的矩形共有_____________个.
6、如图5,一抛物线弧的最大高度为15,跨度为60,则距离中点M 为12的地方,弧的高度是 .
三、(16分)已知n 为正整数,一次函数1
1n y x n n
+=++的图像与坐标轴围成的三角形外接圆面积为25
4
π。求此一次函数的解析式.
四、(16分)设四位数abcd 是一个完全平方数,且21ab cd =+,求这四位数.
五、(17分)如图,已知ABC 内接于⊙O ,AD 、BD 为⊙O 的切线,作DE ∥BC ,交AC 于E ,连结EO 并延长交BC 于F ,求证:BF=FC.
六、(17分)已知当10x -<<时,二次函数243y x mx =-+的值恒大于1,求m 的取值
范围。
参考答案
1.解:∵a-1<0,b+2>0,a+b<0,
∴原式=-1-1-1=-3.∴选(D).
2.解:原方程即2|x|2-3|x|-2=0,即(2|x|+1)(|x|-2)=0,
∵2|x|+1>0,|x|-2=0,
∴x=±2.
∴==-1.
∴选(A).
3.解:∵D在∠C的平分线上,
∴D到CB,CA的距离相等,
又∵D在∠A的外角平分线上,
∴D到CA,AB的距离相等,
∴D到AB,CB的距离相等,
∴D在∠B的外角平分线上.
∵∠ABC=40°,∴∠DBA=70°,
∴∠DBC=110°,
又∵∠BCD=40°,∠BDC=30°,
∴tan∠BDC=.
∴选(D).
4.解:设白皮有x块,则黑皮有32-x块,
∵黑皮为正五边形,
∴黑皮共有边数为5(32-x)条,
又∵每块白皮有三条边和黑皮连在一起,
∴黑皮共有边数还可表为3x条,由此得方程
5(32-x)=3x,解之得白皮有x=20(块).
∴选(B).
5.解:延长AC与圆相交于E、F,则AF=5+,
AE=5-,
又知AB=6,由相交弦定理AD·AB=AE·AF得
AD===.
∴选(C).
6.解:∵=10,x,y为正整数,
∴、化为最简根式后应与为同类根式,只能有以下三种情况:
+3=+9=4+6=7+3=10,
∴共有三组解,选(C).
7.解:圆中五条弦两两相交,且任何三条弦不交于一点,最多可将圆内区域分为16个部分,
∴欲将圆内区域分为15个部分,只需有两条弦交于圆周上或交于圆外,或者有三条弦在圆内交于一点,如图示.
8.解:∵方程有有理根,∴判别式△1=(2k+3)2-4k为完全平方数.
设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数),即4k2+8k+9-m2=0①
将①式看作关于k的二次方程,由题设知有整数根,故①式的判别式
△2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,
令m2-5=n2(n为正整数,且m>n),则有(m+n)(m-n)=5,
∴解得
将m=3代入①式得k=-2或k=0(舍去),
∴k=-2.
说明:本题也可由△1=4(k+1)2+5为完全平方数直接求得k=-2.
9.解:如图∵S△AOD:S△AOB=OD:OB=OA:OC=S△AOB:S△BOC,
∴S2△AOB=S△AOD·S△BOC,
∴S△BOC==16,
又∵S△COD=S△AOB=12,
∴梯形ABCD的面积S=9+16+12+12=49.
10.解:二次函数y=x2+2ax+(a<0)的图像如右图,顶点A(-a,-),图像与x轴的交点为B(x1,0),C(x2,0),对称轴与x轴交点为D,则|BC|=|x1-x2|=
===-.
又∵△ABC为等边三角形,