《金融数学》ppt课件(2-1)等额年金

(1 i) 1
d
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19
a n | 和 s n | 的关系
源自文库（1）
s a (1i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
（显然） （证明见下页）
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20
证明：
1
d
d
d
sn
(1i)n 1
dvn 1 vn
d
d 1 1 vn a
n
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（参见下图解释）
21
1
1
1
a
a
n
n
0
1
d
d
1
1
s n
s n
1 a
n
……
d
d
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1 a
n
n
d
1
1 s
n
22
3、期初付年金和期末付年金的比较
期末付年金
期初付年金
1 vn
a
n
i
s (1 i) n 1
n
i
a 1 vn
n
d
s (1 i) n 1
n
d
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23
期末付年金与期初付年金的关系
（1）
a (1i)a
按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。
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3
本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity）
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4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
111 0123
11 n-1 n
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5
期末付年金的现值 a n
a 的表达式 n n期期末付年金的现值记为 a n |i ，a表示annuity，i表示每 期的实际利率（可省略）。
等额年金(I) （Level Annuity）
孟生旺 中国人民大学统计学院
1
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年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列 款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款）。
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2
年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金
(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。
（Ａ）每年末获得 1 元； a
n|
（Ｂ）每年末获得 i 元的利息收入，在第 n 年末收回１元本金，而第 n 年末收回
１元本金又相当于在每年末收回 1 元。 s
n|
换言之，第二个现金流相当于每年末收回 1 i 元。 s
n|
(参见下页图示）
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11
1
1
a
n
0
1 a
n
……
1
1
a
a
n
n
n
1
i
1 s
n|
n|
a 1 v v n 1 1 ( v v 2 v n ) ( 1 i) a
n
v
n
（2）
s (1i)s
n|
n|
s ( 1 i ) ( 1 i ) n ( 1 i ) [ 1 ( 1 i ) n 1 ] ( 1 i ) s
1 (1 i)
(1 i) n 1
i
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8
s (1 i)n 1
n
i
期末付定期年金的终值
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9
一些等价关系式：
（1） 1 ia vn n 含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1
将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为i a n 。在第 n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1
i
i
……
i
0
（2） sn an (1i)n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。 精选课件ppt
1
10
（3）
1 1 i
as
n
n
证明：
1
i
s
i
(1i)n
i 1
n
i
i(1 i)n (1 i)n 1
i
i 1 vn
1 a
n
解释：考虑 n 年，在第一年的年初投资 1 元，其价值与下述两个现金流等价：
按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。
按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金
（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。
按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金
（deferred annuity） 。
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13
解： （1）贷款在10年末的累积值为
1 0 0 0 1 .0 9 1 0 2 3 6 7 .3 6 利息总额为
2367.361000＝1367.36
（2）每年的利息为90万元，利息总额为 10×90＝900
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14
（3）设每年的偿还额为R，则
解得
Ra 1000 10
s 的表达式 n n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 s n |i ， i 表示 每期的实际利率（可省略）。
在第1个时期末付款1的积累值是 (1 i)n1，在第二个时 期末付款1的积累值为 (1 i)n2 ，……，第n个时期末付 款1的积累值为1。
s1(1i) (1i)n1 n
1 (1 i)n
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17
期初付定期年金的终值
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18
记号 a n |i ——表示期初付年金的现值，i 可省略
a 1v vn1 1vn 1vn
n
1v d
记号s ——表示期初付年金的积累值，i可省略 n |i s (1i) (1i)n(1i)[1 (1i)n 1] n
(1 i) (1 i)n 1 (1 i) n 1
R155.82
故利息总额为155.82×10－1000＝558.2 结论：偿还越迟，利息总量越高。
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15
2、 期初付年金（annuity-due）
期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。
1 1 1 1 ……
1
0 1 2 3 ……
n-1 n
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期初付定期年金的现值
n
i
i
1
s n 精选课件ppt
i
i+1
1
1
s
s
n
n
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例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为 9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。
本金和利息在第10年末一次还清； 每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。 在10年期内，每年末偿还相同的金额。
问题：请先推测大小？
在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款
1的现值为v 2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1
的现值为v n ，故
a vv2 vn n
v (1 v n ) 1 v
1 vn
i
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6
a 1 vn
n
i
期末付定期精选年课件金ppt的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s n