TM.3-3物体系的平衡.静定和超静定问题(687KB)

理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
中选取某些物体作为研究对象，列出 另外的平衡方程，直至求出所有的为 质量为止。 在选取研究对象和列平衡方程时， 应使每一个平衡方程中的未知量个数 尽可能少，最好是只含一个未知量， 以避免求解联立方程。
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四、例题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
例3-5 图3-13a所示为曲轴冲床简图， 由轮Ⅰ、连杆AB和冲头B 组成。 OA=R，AB=l。 忽略摩擦和自重， 当 OA 在水平位置、冲压力为 F 时系统处于平衡状态。
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求： （1）作用在轮Ⅰ上的力偶之矩 M的大小； （2）轴承O处的约束力； （3）连杆AB受的力； （4）冲头给导轨的侧压力。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-13 a, b
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解：
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（1）首先以冲头为研究对象
冲头受冲压阻力 F、导轨约束力 FN 以及连杆（二力杆）的作用力 FB 作用，受力图如图3-1b 所示，为一平 面汇交力系。
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列出平衡方程：
(a) (b) (c)
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以上三个方程包含四个未知数，欲求 得全部解答，必须再补充方程。 （2）选右边钢架为研究对象 右边钢架受力如图3-16b所示。为 了减少方程中的未知量数目，采用力 矩方程，即
设连杆与铅直线间的夹角为，按 图示坐标轴列平衡方程：
(a) (b)
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由式(b)得
FB为正值，说明假设的FB的方向是对 的，即连杆受压力（图3-13c）。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-13 c, d
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1．物体系的平衡
工程中，如组合构架、三铰拱等结构， 都是由几个物体组成的系统。当物体系平 衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态，因此对于每一个受平面任意力系 作用的物体，可写出三个平衡方程。如物 体系由 n 个物体组成，则共有3n个独立方 程。
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注意：
此题在研究整体平衡时，可将均 布载荷作为合力通过点 C， 但在研究 梁 CD 或 AC 平衡时，必然分别受一 半的均布载荷。
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例3-7
齿轮传动机构如图3-15a所示。齿 轮Ⅰ的半径为 r ，自重为 P1。 齿轮Ⅱ的半径为R =2r，其上固结 一半径为 r 的塔轮 Ⅲ，轮 Ⅱ与轮Ⅲ共 重 P2 = 2P1。 齿轮压力角为 ，物体 C 重 为 P = 20P1。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-14 a
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解：（1）以整体为研究对象 组合梁在主动力M，F，q 和约束 力FAx ，FAy ，MA及FB作用下平衡，受 力如图3-14a 所示。其中均布载荷的合 力通过点C，大小为2ql。 列平衡方程：
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2．静定问题
如系统中有的物体受平面汇交力系或 平面平行力系作用时，则系统的平衡方程 数目相应减少。当系统中的未知量数目等 于独立平衡方程的数目时，则所有未知数 都能由平衡方程求出，这样的问题称为静 定问题。显然前面列举的各例都是静定问 题。
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理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-12
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三、求解静定物体系 平衡问题的方法
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求解静定物体系的平衡问题时， 可以选每个物体为研究对象，列出全 部平衡方程，然后求解；也可先取整 个系统为研究对象，列出平衡方程， 这样的方程因不包含内力，式中未知 量较少，解出部分未知量后，再从系 统中选取某些物体作为后，再从系统
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代入式 (b) 得
代入式 (c) 得
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例3-9 编号为1，2，3，4的四根杆组成 的平面结构，其中A，C，E为光滑铰 链，B，D为光滑接触，E为中点，如 图 3-17a 所示。 各杆自重不计。在水 平杆2上作用力F。
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例3-6 图3-14a 所示的组合梁（不计 自重）由 AC 和 CD 铰接而成。 已知： F = 20 Kn ， 均布载荷q=10 kN/m ，
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M = 20 kN· m， l= 1 m 。 试求： 插入端 A 及滚动支座 B 的约 束力。
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（3）再取轮Ⅰ为研究对象 轮Ⅰ受力如图 3-15c 所示。列方
程：
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-15 b, c
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解得
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先取轮Ⅱ，Ⅲ及重物 C为研究对 象，受力如图 3-15b 所示。齿轮间的 啮合力F 可沿节圆的切向及径向分解 为圆周力Ft 和径向力Fr 。
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（2）由以上三式及压力角的定义 且 解出
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3．超静定问题
在工程实际中，有时为了提高结构的 刚度和坚固性，常常增加多余的约束，因 而使这些结构的未知量数目多于平衡方程 的数目，未知量就不能全部由平衡方程求 出，这样的问题称为超静定问题。
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对于超静定问题，必须考虑物体 因受力作用而产生的变形，加列某些 补充方程后，才能使方程数目等于未 知量数目。 超静定问题已超出刚体静力学的 范围，须在材料力学和结构力学中研 究。
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图3-12所示的梁由两部分铰 接组成，每部分有三个平衡方程， 共有六个平衡方程。未知量除了 图中所画的三个约束力和一个约 束力偶外，尚有铰链 C 处的两个 未知力，共计六个。
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因此，也是静定的。若将 B 处的滚动支座改为固定铰支，则 系统共有七个未知数，因此系统 将是超静定的。
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列平衡方程 (a) 和 (b) ：
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(c)
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（2）解方程求约束力 以上三个方程中包含有四个未知 量，必须再补充方程才能求解。 为此可取梁CD为研究对象，受力 如图3-14b所示，有
代入式 (a) 得
冲头对导轨的侧压力的大小等于FN， 方向相反。
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（2）再以轮Ⅰ为研究对象 轮Ⅰ受平面任意力系作用，包括 矩为M的力偶，连杆作用力FA以及轴 承约束力FOx ，FOy（图3-13d）。
按图示坐标轴列平衡方程：
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理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-16 a, b
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(d)
这时又出现了一个未知数FE。为求得 该力的大小，可再考虑吊车梁的平衡。
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由式 (e) 解得 由式 (a) 解得 将 FBy 和 FE 的值代入式 (d) 得
P2 =10 kN；风力 F =10 kN。尺寸如 图所示。D，E 两点在力P的作用线上。 求固定铰支座 A 和 B 的约束力。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-16 a
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解： （1）选整个拱架为研究对象
拱架在主动力 P，P1，P2，F 和 铰链 A，B 的约束力 FAx，FAy，FBx， FBy作用下平衡，受力如图3-16a所示。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-11c, d
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图3-11e，f 所示的平面任意力系， 均有三个平衡方程。图 e 中有三个未 知数，因此是静定的；而在图 f 中， 有四个未知数，因此是超静定的。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-11e, f
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-11a, b
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图3-11c，d 所示的轴分别由轴承 支承，均受平面平行力系作用，均有 两个平衡方程。 图 c 中有两个未知约束力，故为 静定；而在图 d 中，有三个未知约束 力，因此为超静定。
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物体系的平衡 静定和超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
一、静定和超静定问题 二、工程中的静定和超静定问题 三、求解静定物体系平衡问题的 方法 四、关于静定问题的例题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
一、静定和超静定问题
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二、工程中的静定和 超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
下面举出一些静定和超静定问题 的例子。图3-11a，b所示的重物分别 用绳子悬挂，均受平面汇交力系作用， 均有两个平衡方程。在图 a 中，有两 个未知约束力，故是静定的；在图 b 中，有三个未知约束力，因此是超静 定的。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
求： （1）保持物体C 匀速上升时，作用于 轮Ⅰ上力偶的矩 M ； （2）光滑轴承 A，B 的约束力。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-15 a, b
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解：
（1）取轮Ⅱ，Ⅲ及重物 为研究对象
，
， ，
(c)
(d) (e)
M FR
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（3）由式（c）得 由式（d）得
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由式（e）得
负号说明，力FOx，Foy 的方向与图示 假设的方向相反。此题也可先取整个 系统为研究对象，再取冲头或轮Ⅰ为 研究对象，列平衡方程求解。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
试证： 无论力 F 的位置 x 如何改变，其 竖杆 1 总是受到大小等于 F 的压力。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图 3-17 a, b
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解：
（1）先取杆2，4 及销钉A 为研究对象
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-14 b
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(d)
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由式 (d) 得
代入式 (a)，(b)，(c) 得
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此题也可先取梁CD为研究对象，求得 FB 后，再以整体为对象， 求出 FAx ， FAy 及 MA 。
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例3-8 图 3-16a 所示为钢结构拱架，拱 架由两个相同的钢架 AC 和 BC 铰接 吊车梁支承在刚架 D，E 上。设两钢 架各重为 P=60 kN ；吊车梁重为 P1 =20 kN，其作用线通过点C；载荷为
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