线性规划数学模型
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动态规划方法与“时间”关系很密切，随着时间过程 的发展而决定各时段的决策，产生一个决策序列，这就是 “动态”的意思。然而它也可以处理与时间无关的静态问 题，只要在问题中人为地引入“时段”因素，就可以将其 转化为一个多阶段决策问题。在本章中将介绍这种处理方 法。
动态规划
所谓多阶段决策问题是指这样的决策问题:其过程可分 为若干个相互联的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择 的决策，每一决策的选定即依赖于当前面临的状态，又影 响以后总体的效果。当每一阶段的决策选定以后，就构成 一个决策序列，称为一个策略，它对应着一个确定的效果。 多阶段决策问题就是寻找使此效果最好的策略。
动态规划求解的特点
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。 一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本 阶段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的 状态和决策有关。
适合于用动态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决 策问题，即具有“无后效性”的多阶段决策过程。 无后效性(又称马尔柯夫性)是指系统从某个阶段往 后的发展，仅由本阶段所处的状态及其往后的决策所 决定，与系统以前经历的状态和决策(历史)无关。
动态规划的基本概念
4.策略 一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的
第K阶段开始到终止阶段为止的过程称为问题的后 部子过程。由每段的决策按顺序排列组成的决策 函数序列{uk(sk),…,un(sn)}称为K子过程策略，简称 子策略，记为pk,n(sk)。
动态规划问题实例
例6-1 给定一个线路网络，要从A向F铺设一条输油管，
各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可
使总距离最短？
C1 6
5
1
B1 3
6
8ຫໍສະໝຸດ Baidu
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C2 5
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D1
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C3 3
1
D2
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E2 2
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G
3
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B2 6
8 4
C4
3
D3 3
6
E3
动态规划
C1 6
5
1
B1 3
动态规划的基本概念
2.状态、状态变量与可能状态集 描述事物(或系统)在某特定的时间与空间域中所处
位置及运动特征的量，称为状态。反映状态变化的量叫 做状态变量。状态变量包含在给定的阶段上确定全部允 许决策所需要的信息。
每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称 输入状态和输出状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状 态记为sk+1。通常定义阶段的状态即指其初始状态。
动态规划
本章内容重点 多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方 法。1951年美国数学家贝尔曼等人根据一类多阶段决策问 题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单 阶段问题，然后逐个加以解决。贝尔曼的《动态规划》于 1957年出版。
5
A
3
3
87
C3 3
1
D2
2
E2 2
6
G
3
F2
B2 6
8 4
C4
3
D3 3
6
E3
第1阶段 第2阶段 第3阶段
第4阶段 第5阶段 第6阶段
动态规划的基本概念
3.决策 当一阶段的状态确定后，可以作出不同的选择从而
演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策。 在最优控制问题中也称为控制。
描述决策的变量，称为决策变量。决策变量的允许 取值的范围称为允许决策集合。决策变量是状态变量的 函数。用uk(sk)表示第K阶段处于状态sk时的决策变量； Dk(sk)表示sk的允许决策集合。
一般状态变量的取值有一定的范围或允许集合，称 为可能状态集，或可达状态集。可能状态集实际上是关 于状态的约束条件。通常可能状态集用相应阶段状态sk 的大写字母Sk表示，sk∈Sk，。
动态规划问题实例
状态1
状态2
状态3
状态4
状态5
状态6 状态7
C1 6
5
1
B1 3
6
8
3
C2 5
D1 2
2
E1 3
5
F1 4
决策u1
决策u2
决策uk
决策un
状态 阶段1 状态 阶段2 状态...状态 阶段k 状态...状态 阶段n 状态
x1
x2
x3 xk
xk+1 xn
xn+1
T1
T2
Tk
Tn
多阶段决策问题
工厂生产过程:由于市场需求是一随着时间而变化的因素， 因此，为了取得全年最佳经济效益，就要在全年的生产过 程中，逐月或者逐季度地根据库存和需求情况决定生产计 划安排。 设备更新问题:一般企业用于生产活动的设备，刚买来时故 障少，经济效益高，即使进行转让，处理价值也高，随着 使用年限的增加，就会逐渐变为故障多，维修费用增加， 可正常使用的工时减少，加工质量下降，经济效益差，并 且，使用的年限越长、处理价值也越低，自然，如果卖去 旧的买新的，还需要付出更新费．因此就需要综合权衡决 定设备的使用年限，使总的经济效益最好。
动态规划问题实例
状态1
状态2
u2(B2)=C2
D2(B2)={C2,C3,C4}
1
B1 3
5
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A
3
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状态3
C1 6
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2 1
D2
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状态6 状态7
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第1阶段 第2阶段 第3阶段
第4阶段 第5阶段 第6阶段
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动态规划的基本概念
1.阶段与阶段变量 为了便于求解和表示决策及过程的发展顺序，
而把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题，称为多段决策问题的阶段。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用k表示。 阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征 来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。
多阶段决策问题
连续生产过程的控制问题:一般化工生产过程中，常包含一 系列完成生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后一 工序设备的输入，因此应该如何根据各工序的运行工况， 控制生产过程中各设备的输入和输出，以使总产量最大。 资源分配问题:资源分配问题属于静态问题。如某工业部门 或公司，拟对其所属企业进行稀缺资源分配，为此需要制 定出收益最大的资源分配方案。这种问题原本要求一次确 定出对各企业的资源分配量，它与时间因素无关，不属动 态决策，但是，我们可以人为地规定一个资源分配的阶段 和顺序，从而使其变成一个多阶段决策问题。
动态规划
所谓多阶段决策问题是指这样的决策问题:其过程可分 为若干个相互联的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择 的决策，每一决策的选定即依赖于当前面临的状态，又影 响以后总体的效果。当每一阶段的决策选定以后，就构成 一个决策序列，称为一个策略，它对应着一个确定的效果。 多阶段决策问题就是寻找使此效果最好的策略。
动态规划求解的特点
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。 一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本 阶段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的 状态和决策有关。
适合于用动态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决 策问题，即具有“无后效性”的多阶段决策过程。 无后效性(又称马尔柯夫性)是指系统从某个阶段往 后的发展，仅由本阶段所处的状态及其往后的决策所 决定，与系统以前经历的状态和决策(历史)无关。
动态规划的基本概念
4.策略 一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的
第K阶段开始到终止阶段为止的过程称为问题的后 部子过程。由每段的决策按顺序排列组成的决策 函数序列{uk(sk),…,un(sn)}称为K子过程策略，简称 子策略，记为pk,n(sk)。
动态规划问题实例
例6-1 给定一个线路网络，要从A向F铺设一条输油管，
各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可
使总距离最短？
C1 6
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D3 3
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动态规划
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动态规划的基本概念
2.状态、状态变量与可能状态集 描述事物(或系统)在某特定的时间与空间域中所处
位置及运动特征的量，称为状态。反映状态变化的量叫 做状态变量。状态变量包含在给定的阶段上确定全部允 许决策所需要的信息。
每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称 输入状态和输出状态，阶段k的初始状态记作sk，终止状 态记为sk+1。通常定义阶段的状态即指其初始状态。
动态规划
本章内容重点 多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方 法。1951年美国数学家贝尔曼等人根据一类多阶段决策问 题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单 阶段问题，然后逐个加以解决。贝尔曼的《动态规划》于 1957年出版。
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第1阶段 第2阶段 第3阶段
第4阶段 第5阶段 第6阶段
动态规划的基本概念
3.决策 当一阶段的状态确定后，可以作出不同的选择从而
演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策。 在最优控制问题中也称为控制。
描述决策的变量，称为决策变量。决策变量的允许 取值的范围称为允许决策集合。决策变量是状态变量的 函数。用uk(sk)表示第K阶段处于状态sk时的决策变量； Dk(sk)表示sk的允许决策集合。
一般状态变量的取值有一定的范围或允许集合，称 为可能状态集，或可达状态集。可能状态集实际上是关 于状态的约束条件。通常可能状态集用相应阶段状态sk 的大写字母Sk表示，sk∈Sk，。
动态规划问题实例
状态1
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状态3
状态4
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状态6 状态7
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决策u1
决策u2
决策uk
决策un
状态 阶段1 状态 阶段2 状态...状态 阶段k 状态...状态 阶段n 状态
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x2
x3 xk
xk+1 xn
xn+1
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Tk
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多阶段决策问题
工厂生产过程:由于市场需求是一随着时间而变化的因素， 因此，为了取得全年最佳经济效益，就要在全年的生产过 程中，逐月或者逐季度地根据库存和需求情况决定生产计 划安排。 设备更新问题:一般企业用于生产活动的设备，刚买来时故 障少，经济效益高，即使进行转让，处理价值也高，随着 使用年限的增加，就会逐渐变为故障多，维修费用增加， 可正常使用的工时减少，加工质量下降，经济效益差，并 且，使用的年限越长、处理价值也越低，自然，如果卖去 旧的买新的，还需要付出更新费．因此就需要综合权衡决 定设备的使用年限，使总的经济效益最好。
动态规划问题实例
状态1
状态2
u2(B2)=C2
D2(B2)={C2,C3,C4}
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状态6 状态7
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第4阶段 第5阶段 第6阶段
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动态规划的基本概念
1.阶段与阶段变量 为了便于求解和表示决策及过程的发展顺序，
而把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题，称为多段决策问题的阶段。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用k表示。 阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征 来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。
多阶段决策问题
连续生产过程的控制问题:一般化工生产过程中，常包含一 系列完成生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后一 工序设备的输入，因此应该如何根据各工序的运行工况， 控制生产过程中各设备的输入和输出，以使总产量最大。 资源分配问题:资源分配问题属于静态问题。如某工业部门 或公司，拟对其所属企业进行稀缺资源分配，为此需要制 定出收益最大的资源分配方案。这种问题原本要求一次确 定出对各企业的资源分配量，它与时间因素无关，不属动 态决策，但是，我们可以人为地规定一个资源分配的阶段 和顺序，从而使其变成一个多阶段决策问题。