第三章 第三节 韩信点兵与中国剩余定理

25
[思]： 思： 除余1， 除余 除余2， ① 求“用2除余 ，3除余 ，… 用m除余 除余 除余 m－ 1”的数。 － 的数 的数。 除余a 除余b－ ， ② 求“用a除余 －1，用b除余 －1，用c 除余 ， 除余 除余c－1”的数。 的数。 除余 － 的数 是任意大于1的自然数 （a,b,c是任意大于 的自然数） 是任意大于 的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都 ， ， ， ， ， ， ， 除 的数。 余1”的数。 的数 的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余 的数。 ， ， ， 除都余2”的数
14
所谓“带余除法” 是指整数的如 所谓“带余除法”，是指整数的如 整数 下 “除法”： 除法” a b≠0 ∀ , 必唯一 被除数 r ，除数 q 存在商 和余 ，使
a = bq + r ,
0≤r<b
15
当余 r = 0 时，则 a = bq ，称为 “被b a 整除”，或 “ 整除” b
a = 法“q b
是商， 是余 是余， 是商，1是余，
17
这就是“ x = 2n1 + 1(0 ≤ 1 < 2), 这就是“带余除 法”的式子。当取n1 = 0,1, 2,3, 4,⋯ 时， 的式子。 用上式求得的 x 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， ， ， ， ， ， ， ， ， 17，19，21，23，25，… ， ， ， ， ，
26
2．《孙子算经》中“有物不知其数” ． 孙子算经》 有物不知其数” 问题的解答
问题：今有物不知其数， 问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 三三数之剩 ， 五五数之剩3， 五五数之剩 ， 七七数之剩2， 七七数之剩 ， 问物几何？ 问物几何？
27
1）筛法. ）筛法
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （ 除余2） 除余
21
于是把上边每个方程两边都加上1， 于是把上边每个方程两边都加上 ，成为
x + 1 = 2(n1 + 1) x + 1 = 3(n2 + 1)
这说明， 这说明，
x +1
既是2的倍数，又是 的 既是 的倍数，又是3的 的倍数
倍数， 因此， 它是2与 的公倍数 的公倍数。 倍数 ， 因此 ， 它是 与 3的公倍数 。 由此想到
28
2）公倍数法
现在仿照上边用过的“公倍数法” 现在仿照上边用过的“公倍数法”， 设要求的数为 方程组
5
九章算术
周髀算经
6
《孙子算经》 孙子算经》
7
３．张丘建算经中的题目
公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱， 公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只 值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡。问这一百只鸡中， 值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡。问这一百只鸡中， 公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡 只，那么根据已知 设买公鸡 只 买母鸡 只 买小鸡z只 条件列方程， 条件列方程，有： x+y+z=100…………（1） 5x+3y+z/3=100……（2） （2）×3-（1），得 14x+8y=200 也就是 7x+4y=100……（3）
20
那么，为了解这个方程组， 那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？ 还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现， 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。 带余除法”的式子，都是“余数比除数少1
于是想到，如果把被除数再加1 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 把被除数再加 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 整除的情况了吗
化归的方向是由未知到已知、由难到易、由繁到简、由暗到明． 化归遵循的原则是熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、 正难则反原则． 数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题、 直至化归为一类已经能解决或比较容易解决的问题的过程 ．
13
2）公倍数法
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
18
接着从中筛选出“用3除余2”的 就是挑出符合下面“带余除法” 数，就是挑出符合下面“带余除法”表达 式 ≤ 2 < 3) x = 3n2 + 2, (0
n2
的数， 的数，这里
可取0， ， ， ， ， 可取 ，1，2，3，4，…
再继续做下去。。。。。。 再继续做下去。。。。。。
19
如果我们不分上面两步， 如果我们不分上面两步，而是一上 来就综合考虑两者 综合考虑两者， 来就综合考虑两者，则就是要解联立方 程组 x = 2n1 + 1 中的x. x = 3n2 + 2
23
②寻找规律 设问题中， 设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2， ， 3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都 去除， ， ， ， ， ， ， 去除 是比除数少1， 再加1， 是比除数少 ，于是我们把被除数 x 再加 ，
x
则 x + 1 就可被 ，3，4，5，6，7，8，9均 就可被2， ， ， ， ， ， Baidu Nhomakorabea 均 整除。也就是说， 整除。也就是说， x + 1 是2,3,4,5,6,7,8,9 的公倍数， 的公倍数，从而是其最小公倍数 [2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。 的倍数。 的倍数
8，23，… ， ，
除余3） （用5除余 ） 除余
23，… ， 由此得到， 是最小的一个解 是最小的一个解。 由此得到，23是最小的一个解。
除余2） （用7除余 ） 除余
至于下一个解是什么，要把“ 写出来才知道； 至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知道； 写出来才知道 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
除余1） 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 除余 5， ， 11， ， 17， ， 23， … ， （ 用3除余 ） 除余2） 除余
上述筛选过程的第一步，得到: 上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… 11，13，15，17，19，21，23，25， 其实是列出了“ 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 除余1”的数组成的数列。 1”的数组成的数列 实际上是用带余除法的式子得到的。 带余除法的式子得到的 实际上是用带余除法的式子得到的。
第三章
若干数学典故中的数学文化
第三节
韩信点兵与中国剩余定理
1
一、“韩信点兵”的故事和两个有趣的的题目 韩信点兵”
1.“韩信点兵”的故事 韩信点兵” 韩信点兵 韩信阅兵时，让一队士兵 人一行排队从他面前走过 人一行排队从他面前走过， 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（ 人 他记下最后一行士兵的人数（1人）； 再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后 再让这队士兵 人一行排队从他面前走过， 人一行排队从他面前走过 一行士兵的人数（ 人 一行士兵的人数（5人）； 再让这队士兵7人一行排队从他面前走过， 再让这队士兵 人一行排队从他面前走过，他记下最后一 人一行排队从他面前走过 行士兵的人数（ 人 行士兵的人数（4人）； 再让这队士兵11人一行排队从他面前走过， 再让这队士兵 人一行排队从他面前走过，他记下最后 人一行排队从他面前走过 一行士兵的人数（10人）． 一行士兵的人数（ 人
11
化繁为简的思想 化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件， 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这 就是化繁为简 化繁为简。 就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本 那么简化就“不失一般性” 质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样， 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学 能力。 能力。
11， ，
23，… ，
除余3） （ 用4除余 ） 除余
10
再从中挑“ 除余4”的数 再从中挑“用5除余 的数，… 除余 的数，
一直筛选下去，舍得下功夫， 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可 得结果。 得结果。 并且看起来， 并且看起来，解，还不是唯一的；可能 还不是唯一的； 有无穷多个解。 有无穷多个解。
22
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1， 问题： 今有物不知其数，二二数之剩 ，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩 ，六六 数之剩 ，四四数之剩 ，五五数之剩4， 数之剩5，七七数之剩 ，八八数之剩7， 数之剩 ，七七数之剩6，八八数之剩 ，九九 数之剩8，问物几何？ 数之剩 ，问物几何？
8
二．问题的解答
1．从另一个问题入手 ．
问题：今有物不知其数， 问题：今有物不知其数，二二数之
剩1，三三数之剩 ，四四数之剩 ，五五数 ，三三数之剩2，四四数之剩3， 之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6， 之剩 ，六六数之剩 ，七七数之剩 ，八八 数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 数之剩 ，九九数之剩 ，问物几何？
9
1）筛法 ）
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 21，23，25，27，29，… ， ， ， ， ， 除余1） （ 用2除余 ） 除余
5， 11， 17，23， 29， …（ 3除余 5， 11， 17，23， 29， …（ 用3除余2） 除余2）
4
这里面又有什么秘密呢？ 这里面又有什么秘密呢？ 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数 余数． 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数．
中国古代算经十书：
《周髀算经》《九章算术》 《海岛算经》《 孙子算经》 《张邱建算经》 《五曹算经》 《五经算术》 《数术记遗》 《缀术》 《缉古算经》 夏侯阳算经
24
∴ x +1= k ⋅[2,3,4,5,6,7,8,9] = k ⋅ 2520,k =1,2,3,⋯
即
x = 2520k − 1, k = 1, 2,3,⋯
这就是原问题的全部解， 有无穷多个解， 这就是原问题的全部解 ， 有无穷多个解 ， 其中第 一个解是2519；我们只取正数解 ， 因为 “ 物体的 一个解是 ； 我们只取正数解，因为“ 个数”总是正整数。 个数”总是正整数。
a 整除 ”，这是通常除
” 的另一种表达形式。所以， 的另一种表达形式。所以，
带余 除法是通常除法的推广。 除法是通常除法的推广。
16
回到求“ 除余1的数 回到求“用2除余 的数”的问题。设 除余 的数”的问题。 这 样的数为
x
，则
x = 2n1 + 1
n1
。这里
x
是
被除数， 2是除数 被除数，2是除数， 0 ≤ 1 < 是除数， 且 。
寻找规律的思想 寻找规律的思想
筛法， 把我们的解题方法总结为筛法 是重要的进步，是质的飞跃： 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。 找到规律了。 找到规律了 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
12
数学中的化归方法，就是转化和归结的意思，是指 把待解决或未解决的数学问题，通过某种转化过程，归 结到一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得 问题的解答的一种手段和方法．
2
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 这里面有什么秘密呢？ 这里面有什么秘密呢？
韩信好像非常重视作除法时的余数 韩信好像非常重视作除法时的余数
3
2.《孙子算经》中的题目 《孙子算经》
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目： 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目： 今有物不知其数， 今有物不知其数， 三三数之剩2， 三三数之剩 ， 五五数之剩3， 五五数之剩 ， 七七数之剩2， 七七数之剩 ， 问物几何？ 问物几何？ 答曰 23