材料力学-正应力计算.
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即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
（2）求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的 距离分别为： a CC 2cm, a CC 2cm I I II II
由平行移轴公式，两矩形对中
性轴z的惯性矩为：
2 63 I zI I z 1 I a AI 2 2 12 84cm4 12 6 23 2 I zII I z 2 II a II AII 2 2 12 52cm4 12
例
一受均布载 荷的悬臂 梁 ，其长 l=1m ，均布载荷集 度
q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩 Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
M
max
ql 2 600012 3000 N m 2 2
4
I P D 4 Iz Iy 1 4 2 64
d D
2、组合截面惯性矩
I z y dA y dA I zΙ I zII
2 2 A1 A2
平行移轴公式
I z1
2 y1 dA
A
I z1 ( y a ) 2 dA
A
A
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
弯曲正应力分布规律
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压；
y E E
M
yc A 0 A0
A
ydA M
y E E
A
y(
E
y )dA
E
A
y 2 dA M
令 EI z
I z y 2 dA
A
M
抗弯刚度
M 或 EI z
1
My Iz
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
工程力学教学课件
工程力学
清华大学出版社 北京交通大学出版社
第十七章
弯曲应力及强 度刚度计算
第一节 梁弯曲时的正应力 # # # # 纯弯曲与剪切弯曲 中性层和中性轴 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。 各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。
A
D 4
32
空心圆
I P 2 dA
A
( y 2 z 2 )dA
A A
y 2 dA z 2 dA I z I y
A
IP Iz Iy D4 d 4 2 64
I P 2I z 2I y
实心圆
I P d Iz Iy 2 64
385 106 Pa 385MPa
第二节
惯性矩的计算
1、简单截面的惯性矩 矩形截面
h 3 2 h 2
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
bh3 12
bh3 Iz 12
hb3 Iy 12
y
P z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
My Iz
（2）求最大应力
因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
T max
M max 3000 y1 0.0152 8 Iz 25.6 10
178 106 Pa 178MPa
在截面的下端受最大压应力，其值为
C max
M max 3000 y2 0.0328 8 Iz 25.6 10
200 100 (a) (b)
1 3 1 8 3 (a) : I Z bh 100 200 10 8 mm 4 12 12 12 1 3 1 2 3 8 4 (b) : I Z bh 200 100 10 mm 12 12 12
圆形与圆环截面
I p 2dA
1、变形几何关系
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
中 性 轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
AI 2 6 12cm2 6 y 5cm I 2 2 AII 6 2 12cm2 2 y 1cm II 2
整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为：
yC
Ai yi
A
AI y I AII y II AI AII
12 5 121 3cm 12 12
• 弯矩为负时，正应力上拉下压； • 中性轴上，正应力等于零
M
2、静力学关系分析
没有轴向力
dA 0
A
y E E
E
A
A
ydA
E
A
ydA 0
Z:中性轴
ydA 0
质心坐标 静矩，面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
A
ydA yc A S z yc 0
2 I
（3）求整个截面对中性轴 的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm4
3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
某截面上最大弯 曲正应力发生在截面 的上下边界上：
max
M WZ
IZ WZ ymax
A A
ydA S z yc A
A
且 yc 0
ydA 0
A
I z1 I z a 2 A I y1 I y b 2 A
例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.
（1） 确定形心和中性轴的位置
将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形，取 与截面底边相重合的z 轴为参考 轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：
（2）求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的 距离分别为： a CC 2cm, a CC 2cm I I II II
由平行移轴公式，两矩形对中
性轴z的惯性矩为：
2 63 I zI I z 1 I a AI 2 2 12 84cm4 12 6 23 2 I zII I z 2 II a II AII 2 2 12 52cm4 12
例
一受均布载 荷的悬臂 梁 ，其长 l=1m ，均布载荷集 度
q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩 Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
M
max
ql 2 600012 3000 N m 2 2
4
I P D 4 Iz Iy 1 4 2 64
d D
2、组合截面惯性矩
I z y dA y dA I zΙ I zII
2 2 A1 A2
平行移轴公式
I z1
2 y1 dA
A
I z1 ( y a ) 2 dA
A
A
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
弯曲正应力分布规律
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压；
y E E
M
yc A 0 A0
A
ydA M
y E E
A
y(
E
y )dA
E
A
y 2 dA M
令 EI z
I z y 2 dA
A
M
抗弯刚度
M 或 EI z
1
My Iz
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
工程力学教学课件
工程力学
清华大学出版社 北京交通大学出版社
第十七章
弯曲应力及强 度刚度计算
第一节 梁弯曲时的正应力 # # # # 纯弯曲与剪切弯曲 中性层和中性轴 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。 各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。
A
D 4
32
空心圆
I P 2 dA
A
( y 2 z 2 )dA
A A
y 2 dA z 2 dA I z I y
A
IP Iz Iy D4 d 4 2 64
I P 2I z 2I y
实心圆
I P d Iz Iy 2 64
385 106 Pa 385MPa
第二节
惯性矩的计算
1、简单截面的惯性矩 矩形截面
h 3 2 h 2
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
bh3 12
bh3 Iz 12
hb3 Iy 12
y
P z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
My Iz
（2）求最大应力
因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
T max
M max 3000 y1 0.0152 8 Iz 25.6 10
178 106 Pa 178MPa
在截面的下端受最大压应力，其值为
C max
M max 3000 y2 0.0328 8 Iz 25.6 10
200 100 (a) (b)
1 3 1 8 3 (a) : I Z bh 100 200 10 8 mm 4 12 12 12 1 3 1 2 3 8 4 (b) : I Z bh 200 100 10 mm 12 12 12
圆形与圆环截面
I p 2dA
1、变形几何关系
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
中 性 轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴
AI 2 6 12cm2 6 y 5cm I 2 2 AII 6 2 12cm2 2 y 1cm II 2
整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为：
yC
Ai yi
A
AI y I AII y II AI AII
12 5 121 3cm 12 12
• 弯矩为负时，正应力上拉下压； • 中性轴上，正应力等于零
M
2、静力学关系分析
没有轴向力
dA 0
A
y E E
E
A
A
ydA
E
A
ydA 0
Z:中性轴
ydA 0
质心坐标 静矩，面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
A
ydA yc A S z yc 0
2 I
（3）求整个截面对中性轴 的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm4
3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
某截面上最大弯 曲正应力发生在截面 的上下边界上：
max
M WZ
IZ WZ ymax
A A
ydA S z yc A
A
且 yc 0
ydA 0
A
I z1 I z a 2 A I y1 I y b 2 A
例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.
（1） 确定形心和中性轴的位置
将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形，取 与截面底边相重合的z 轴为参考 轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：