1平面位置的确定及法向量
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D1
C1 A1
(1) AB, AD, AA1
(2) AC, AB1, AD1
y
B1
D C
4 x
A
3 5
B
(3) AC1, BD1, AC 1 , DB 1
三、平面的法向量 1、定义 对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做 平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平面的位置确定 及法向量
高二 赵蕾
一：空间中，点的位置的确定
如图, 在空间中,取一点O作为基点, 那么，空间中任意一点 P 的位置就可用
向量 OP来表示．
我们把向量OP叫做点P的位置向量。
· P · O
二：空间直线的方向向量 1、定义 对于空间任意一条直线l，把与直线l 平行的非零向量 d 叫做直线l的一个 z 方向向量。
A1
D1
C1
B1
E
D
(4)平面A1EC（-1，1，2）
x x
A
y
C B
小结：
1.空间中，点的位置的确定。
2.空间直线的方向向量。
3.平面的法向量。 4.求平面的法向量的步骤。
l
d
d2
O
y
d1
x
2、方向向量的求法 可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
l
A(x1,y1,z1)
AB, ( R, 0)
均是直线l的方向向量
x
O
y
B (x2,y2,z2)
例1、如图所示，已知长方体AC1中， AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直线 的一个方向向量。 z
2、一个平面α的法向量也是所有与 平面α平行的平面的法向量。
例 2：在空间直角坐标系中 ,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y,wenku.baidu.comz)
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
1：如图所示，在棱长为2的 正方体中,E是平面ABCD的中心, 求平面EA1D1的法向量。
z
D1
C1
A1
B1
D E
y
C B
x
A
2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面的一个法向量：
z
(1)平面BDE （1，-1，0）
(2)平面ACE （1，1，-2） (3)平面DC1E（1，-2，2）
例3、如图所示，已知长方体AC1中， AA1=4，AB=5,BC=3,求下列平面的 一个法向量： z (1) 平面 ABCD D
1
C1
A1
B1
D C
(2)平面AA1C1C (3)平面A1DC1
y
4 x
3
B A 5 与坐标轴垂直的平面的法向量的坐标有何特征？
1 2 2 1 2 2 ( ， ，） ） 或 ( ， ， . 3 3 3 3 3 3
求平面法向量的方法： ⑴(设)设平面的法向量为 n ( x, y, z ) ⑵（列）找出(求出)平面内的两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶ （解） 根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的
n a 0 方程组 待定系数法 n b 0 ⑷（取）解方程组,取其中的一个解,即得法 向量.
例 4： 已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的单 位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC . ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 y 2 x ∴ ① ∴ 即 ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 0 z 2 x 1 2 2 2 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ，） ）. ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ， 或 ( ， ， 3 3 3 3 3 3
( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 ∴ 即 ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0
3 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) y x 4 ∴ z 3 x ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量. 2
C1 A1
(1) AB, AD, AA1
(2) AC, AB1, AD1
y
B1
D C
4 x
A
3 5
B
(3) AC1, BD1, AC 1 , DB 1
三、平面的法向量 1、定义 对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做 平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平面的位置确定 及法向量
高二 赵蕾
一：空间中，点的位置的确定
如图, 在空间中,取一点O作为基点, 那么，空间中任意一点 P 的位置就可用
向量 OP来表示．
我们把向量OP叫做点P的位置向量。
· P · O
二：空间直线的方向向量 1、定义 对于空间任意一条直线l，把与直线l 平行的非零向量 d 叫做直线l的一个 z 方向向量。
A1
D1
C1
B1
E
D
(4)平面A1EC（-1，1，2）
x x
A
y
C B
小结：
1.空间中，点的位置的确定。
2.空间直线的方向向量。
3.平面的法向量。 4.求平面的法向量的步骤。
l
d
d2
O
y
d1
x
2、方向向量的求法 可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
l
A(x1,y1,z1)
AB, ( R, 0)
均是直线l的方向向量
x
O
y
B (x2,y2,z2)
例1、如图所示，已知长方体AC1中， AA1=4，AB=5,BC=3,写出下列直线 的一个方向向量。 z
2、一个平面α的法向量也是所有与 平面α平行的平面的法向量。
例 2：在空间直角坐标系中 ,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y,wenku.baidu.comz)
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
1：如图所示，在棱长为2的 正方体中,E是平面ABCD的中心, 求平面EA1D1的法向量。
z
D1
C1
A1
B1
D E
y
C B
x
A
2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面的一个法向量：
z
(1)平面BDE （1，-1，0）
(2)平面ACE （1，1，-2） (3)平面DC1E（1，-2，2）
例3、如图所示，已知长方体AC1中， AA1=4，AB=5,BC=3,求下列平面的 一个法向量： z (1) 平面 ABCD D
1
C1
A1
B1
D C
(2)平面AA1C1C (3)平面A1DC1
y
4 x
3
B A 5 与坐标轴垂直的平面的法向量的坐标有何特征？
1 2 2 1 2 2 ( ， ，） ） 或 ( ， ， . 3 3 3 3 3 3
求平面法向量的方法： ⑴(设)设平面的法向量为 n ( x, y, z ) ⑵（列）找出(求出)平面内的两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶ （解） 根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的
n a 0 方程组 待定系数法 n b 0 ⑷（取）解方程组,取其中的一个解,即得法 向量.
例 4： 已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的单 位法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC . ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 y 2 x ∴ ① ∴ 即 ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 0 z 2 x 1 2 2 2 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ，） ）. ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ， 或 ( ， ， 3 3 3 3 3 3
( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 ∴ 即 ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0
3 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) y x 4 ∴ z 3 x ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量. 2