量子力学基础

第22章量子力学基础

一、德布罗意物质波

德布罗意认为不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性。描述实物粒子波函数中的、与实物粒子的能量E和动量p的德布罗意关系：

戴维孙-革末电子衍射实验，约恩孙电子双缝干涉实验都证实了电子具有的波动性。

二、海森伯不确定关系

由于微观粒子具有波粒二象性，我们就无法同时精确地测定微观粒子坐标与动量，海森伯提出了如下的不确定关系：

1、动量-坐标不确定关系

2、时间-能量不确定关系

三、波函数

微观粒子具有波粒二象性，它不同于经典的波也不同于经典的粒子，要描述微观粒子群体随时间的变化，引入波函数。波函数确定后，微观粒子的波粒二象性就能得到准确的描述。波函数是微观粒子的态函数。

1、波函数的物理意义：

某一时刻在空间某一位置粒子出现的几率正比于该时刻该位置波函数的平方，或

，即

几率密度

2、波函数的归一化条件

3、波函数的标准条件，单值有限连续。

四、薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学的基础方程，由它可解出粒子的波函数

1、自由粒子：

，，

2、势场中粒子：

*非定态：

式中，为哈密顿算符。

定态：

五、薛定谔方程应用实例

1、一维势箱：金属中电子、原子核中质子势能分布的理想化模型。它的势函数

阱内一维定态薛定谔方程

解得满足边界条件（标准条件）归一化条件的解的波函数

能量

当n=1时为基态能量，也叫零点能。

相应各量子数n的波函数，几率密度和能级分布如图：

2、一维势垒：

半导体中p-n结处电子和空穴势能分布的简化模型。

3、隧道效应：

粒子越过或穿透高于其总能量的势垒。

4、原子、分子运动的量子化特征：

原子振动能量：

分子转动能力：

5、电子角动量：

轨道角动量：，

自旋角动量：，

6、氢原子的定态：

氢原子中电子的定态薛定谔方程

解出来的波函数满足有限单值连续的标准条件可得下表中的四个量子数。

四个量子数表征氢原子中电子状态的特征，如表所列：

名称可取数值主要作用

确定电子能量的主要部分

主量子数n 正整数

1，2，3……

确定电子的角动量

角量子数在n给定以后，可取n个值，

即0，1，2……（n-1）

相应常用s、p、d、f表示

确定角动量在外磁场方向的投影

磁量子数在给定以后，可取或

个值，即0，，

……

自旋量子数

只取两个值，确定电子的自旋角动量沿

某一方向上的投影

原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态，或者说一个原子中任何两个电子不可能具完全相同的四个量子数。

3、能量最小原理

原子系统中每个电子趋向占有最低能级，当原子系统的总能量为最小时原子最稳定。

六、多电子原子

1、四个量子数

2、泡利不相容原理

七、经典粒子和微观粒子描述比较

经典粒子微观粒子

状态描述，，一组量子数

运动图象确定的动量、位置和轨迹确定的几率分布

基础规律

薛定谔方程

牛顿定律

粒子状态取决于力函数取决于势能函数

力学量特征连续变化本征量量子化，非本征量不确

定

固体量子理论基础

一、晶体

分子、原子按一定的周期性作规则排列的固体称为晶体。

1、按结合键分：离子晶体、共价晶体、分子晶体、金属晶体、氢键晶体。

2、按导电性分：导体、半导体、绝缘体。

二、电子波函数

1、周期性势场：

2、布洛赫波函数：，

三、电子的能态

1、能带：N个相近能级组成，对应原子能级。

2、禁带：能带之间的禁区，电子不可能具有禁区能量。

四、电子运动

1、速度：

2、加速度：

3、有效质量：

五、半导体

1、本征导电性。

2、杂质导电性：n型半导体、p型半导体。

六、超导BCS理论

【例22-1】原子从某一激发态跃迁到基态，发射出中心波长为，谱线宽度的光子，试估算：

（1）此光子的动量不确定度；

（2）此光子的位置不确定度；

（3）原子处在激发态的寿命；

（4）该激发态的能量宽度。

【解】（1）光子的动量

光子动量的不确定度

（2）由不确定关系

得光子位置的不确定度

（3）原子在激发态的寿命

（4）激发态的能量宽度可由不确定关系

来估算得

【例22-2】试用下列3种方法计算宽为a的无限深一维势阱中质量为m的粒子的最小能量（零点能）：

（1）德布罗意波的驻波条件；

（2）不确定关系式；

（3）薛定谔方程。

【解】（1）要达到稳定状态，德布罗意波在势阱中应形成驻波，能量最小时驻波的波长

为2a，该势阱中粒子的动量

相应的能量

（2）由测不准关系，

取粒子的动量p与动量的测不准量为同一数量级，即

得粒子的能量

（3）根据薛定谔方程求解

即

令，

原方程可写成：

方程的解为：

由边界条件得：

得：

由此得，又因为上面已令

因此

得