04南航戴华矩阵论第四章l矩阵的因子分解
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k A11 kk 0, k 1,, n 1
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
d1 a11 ,
dk
k , k 1
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.
定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质：
(1) det(E(u, v, )) 1vHu; (2) 如果vHu 1，则E(u, v, )可逆，并且其逆
矩阵也是初等矩阵
E(u, v, )1 E(u, v, )
• 排列矩阵的性质。 • 排列矩阵的作用。
定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列
矩阵P 使得
PA LU~ LDU
其中L是单位下三角矩阵, U~ 是上三角矩阵，U是
单位上三角矩阵，D是对角矩阵。
LU分解的应用： • 求解线性方程组。 • 求解矩阵特征值问题。
4.4 QR 分解
第4章 矩阵的因子分解
4.1 初等矩阵 4.2 满秩分解 4.3 三角分解 4.4 QR分解 4.5 Schur定理与正规矩阵 4.6 奇异值分解
4.1 初等矩阵
4.1.1 初等矩阵 4.1.2 初等下三角矩阵 4.1.3 Householder矩阵
4.1.1 初等矩阵
定义4.1.1 设 u, v C n，σ为一复数，如下形式的 矩阵
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
称为初等下三角矩阵, 即
1
0
Li Li (li ) I lieiT
0
1
li1,i 1
0
ln,i
1
(4.1.4)
由定理4.1.1知det(Li ) 1,并且Li 1 E(li , ei ,1) Li (li ) .
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
第 k 行减去第 i 行乘以 lki(k i 1,, n) 。
对于A (a
ij)l，ki 如aa果kijj ,aij
0 ，取 k i 1,, n
(4.1.6)
则Li A的(i 1, j),, (n, j)元素全为零.这就是消去法的一步
4.1.3 Householder矩阵
• 什么是矩阵的QR分解？ • 矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解
是否唯一？
• 如何计算矩阵的QR分解？ • QR分解有什么应用？
定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则 存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三 角矩阵 R使得
A QR
(4.4.1)
(2) H (w)H H (w) H (w)1 ;
(3) 设a,b Cn且a b,则存在单位向量w使得H (w)a b 的充分必要条件是
aH a bH b, aH b bH a (4.1.8)
并且若上述条件成立，则使H(w)a = b 成立的单位向
量w可取为
w ei (a b) a b
A BC
并且rank(B) = rank(C) = r.
满秩分解的应用： • 有关结论的证明。 • 计算广义逆矩阵。
4.3 三角分解
设A = (aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方 的元素全为零，即对i >j, aij = 0（对i < j,aij = 0），则 称矩阵 A 为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角 矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角 矩阵称为单位上（下）三角矩阵。
对初等下三角矩阵，当i <j 时，有
1
0
1
Li (li )Lj (l j )
I
lieiT
l jeTj
பைடு நூலகம்
li1,i
0
lni
1
0
l j1, j
lnj
0 1
(4.1.5)
用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的
(4.1.9)
其中θ为任一实数。
4.2 满秩分解
• 什么是矩阵的满秩分解？ • 矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩
分解是否唯一？ • 如何计算矩阵的满秩分解？ • 满秩分解有什么应用？
定理4.2.1（满秩分解定理）设 m×n 矩阵 A的秩为r>0,
则存在 m×r 矩阵B 和 r×n 矩阵 C 使得
其中 . vHu 1
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0,,0,li1,i ,,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
d1 a11 ,
dk
k , k 1
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.
定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质：
(1) det(E(u, v, )) 1vHu; (2) 如果vHu 1，则E(u, v, )可逆，并且其逆
矩阵也是初等矩阵
E(u, v, )1 E(u, v, )
• 排列矩阵的性质。 • 排列矩阵的作用。
定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列
矩阵P 使得
PA LU~ LDU
其中L是单位下三角矩阵, U~ 是上三角矩阵，U是
单位上三角矩阵，D是对角矩阵。
LU分解的应用： • 求解线性方程组。 • 求解矩阵特征值问题。
4.4 QR 分解
第4章 矩阵的因子分解
4.1 初等矩阵 4.2 满秩分解 4.3 三角分解 4.4 QR分解 4.5 Schur定理与正规矩阵 4.6 奇异值分解
4.1 初等矩阵
4.1.1 初等矩阵 4.1.2 初等下三角矩阵 4.1.3 Householder矩阵
4.1.1 初等矩阵
定义4.1.1 设 u, v C n，σ为一复数，如下形式的 矩阵
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
称为初等下三角矩阵, 即
1
0
Li Li (li ) I lieiT
0
1
li1,i 1
0
ln,i
1
(4.1.4)
由定理4.1.1知det(Li ) 1,并且Li 1 E(li , ei ,1) Li (li ) .
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
第 k 行减去第 i 行乘以 lki(k i 1,, n) 。
对于A (a
ij)l，ki 如aa果kijj ,aij
0 ，取 k i 1,, n
(4.1.6)
则Li A的(i 1, j),, (n, j)元素全为零.这就是消去法的一步
4.1.3 Householder矩阵
• 什么是矩阵的QR分解？ • 矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解
是否唯一？
• 如何计算矩阵的QR分解？ • QR分解有什么应用？
定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则 存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三 角矩阵 R使得
A QR
(4.4.1)
(2) H (w)H H (w) H (w)1 ;
(3) 设a,b Cn且a b,则存在单位向量w使得H (w)a b 的充分必要条件是
aH a bH b, aH b bH a (4.1.8)
并且若上述条件成立，则使H(w)a = b 成立的单位向
量w可取为
w ei (a b) a b
A BC
并且rank(B) = rank(C) = r.
满秩分解的应用： • 有关结论的证明。 • 计算广义逆矩阵。
4.3 三角分解
设A = (aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方 的元素全为零，即对i >j, aij = 0（对i < j,aij = 0），则 称矩阵 A 为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角 矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角 矩阵称为单位上（下）三角矩阵。
对初等下三角矩阵，当i <j 时，有
1
0
1
Li (li )Lj (l j )
I
lieiT
l jeTj
பைடு நூலகம்
li1,i
0
lni
1
0
l j1, j
lnj
0 1
(4.1.5)
用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的
(4.1.9)
其中θ为任一实数。
4.2 满秩分解
• 什么是矩阵的满秩分解？ • 矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩
分解是否唯一？ • 如何计算矩阵的满秩分解？ • 满秩分解有什么应用？
定理4.2.1（满秩分解定理）设 m×n 矩阵 A的秩为r>0,
则存在 m×r 矩阵B 和 r×n 矩阵 C 使得
其中 . vHu 1
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0,,0,li1,i ,,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)