高等代数 第七章习题课
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：依题意 A
线性无关
( 1 )1 +( 1 ) 2 0 由1，2无关可知 1=0， 2 0 1=2，矛盾！
数乘变换的相关结论
1．下列所定义的变换 ，哪一个是线性变换 D
(A)在线性空间 V 中，设 为一固定的非零向量，对于任意的 V ，定义 ( ) ; (B) 在 R3 中，定义 (x1, x2 , x3 ) (x12 , x2 x3, x32 ) ; (C) 在 R3 中，定义 (x1, x2 , x3 ) (x12 x32 , x12 x22 , x22 x32 ) ;
若 | E-A| 0，
则 1 一定是A的特征值
若 | 2E-A| 0，
则 2 一定是A的特征值
若 | E A| 0，
则 - 1 一定是A的特征值
3、设三阶方阵 A 的特征多项式为 f () 3 22 2 5 ，则 | A | ________
4. 设 为 n 维线性空间 V 的一个线性变换，则由 的秩＋ 的零度＝ n ，有
为 V 的一组基，并且有
(1) 1 22 23, (2 ) 2Hale Waihona Puke Baidu 2 23, (2 ) 21 22 3,
求 的值域V 和核 1(0) 。
V (V ) 1(0) .（ × ）
5. 设 是 线 性 空 间 V 的 一 个 线 性 变 换 ， 1,2,...,s 线 性 无 关 ， 则 向 量 组
(1), (2 ),..., (s ) 也线性无关.（× ）
6. 线性空间V 中任一非零向量皆为数乘变换 K 的特征向量.（ ）
的核 A 1(0) 的一组基合起来是V 的一组基.
不一定是直和
8,. 数域 P 上 n 维线性空间V 的零变换 O 的值域及核的维数分别是(
).
A. 0, 0
B. 0, n
C. n, 0 D. n, n
4. 设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵，定义 n 维列向量空间 Pn 的线性变换 ：
(D) 在 P[x] 中，定义 f (x) f (x0 ) ,其中 x0 为 P 中一个固定的数。
2.下面命题正确的是( C )
A. A 是 n 维线性空间V 的线性变换，则 A 唯一确定一个 n 级矩阵; B. A 是 n 维线性空间V 的线性变换，则 A 关于任意基的矩阵是可逆的; C. 两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵; D. 两个 n 级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.
相似矩阵
相同的特征多项式；
相同的特征值；
相同的迹；相同的行列式 上述结果逆命题不成立
D
5. 设 A 是 3 阶方阵，它的特征值分别为 0、1、2，则下列
矩阵可逆的是（ C）
(A) A2 ; (B) A2 A ; (C) I A ; (D) 2I A .
注：特征值就是特征方程 E-A =0 的根
5. 设 1, 2 是方阵 A 的属于特征值 0 的两个不同的特征向量，
则如下为 A 的特征向量的是( C )
A. k1
B. k 2
C. 1 2
D. 1 2
注意：特征向量是非零向量.
× 7. (
)设 A 是线性空间V 上的一个线性变换, 则 A 的值域 A V 的一组基与 A
1.设 A 和 B 为数域 P 上的 n 阶方阵，则 A 和 B 相似当且仅当 (A) A 和 B 有相同的特征值； (B) A 和 B 有相同的秩；
(C√) 存在着行列式不为零的 n 阶方阵 T 使得 B T 1AT ；
( D) A 和 B 有相同的迹。
注意：选项A,B,D均为相似必要条件 2. 两个矩阵相似当且仅当它们有相同的特征多项式 ( × )
( ) A , Pn ， 则 dim( 1(0)) 和 dim( (Pn )) 分别为（ ）
(A) r, n r ； (B) r,r ； (C) n r, r ； (D) n r, n r .
练习：设 为数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，设 1, 2 , 3
线性无关
( 1 )1 +( 1 ) 2 0 由1，2无关可知 1=0， 2 0 1=2，矛盾！
数乘变换的相关结论
1．下列所定义的变换 ，哪一个是线性变换 D
(A)在线性空间 V 中，设 为一固定的非零向量，对于任意的 V ，定义 ( ) ; (B) 在 R3 中，定义 (x1, x2 , x3 ) (x12 , x2 x3, x32 ) ; (C) 在 R3 中，定义 (x1, x2 , x3 ) (x12 x32 , x12 x22 , x22 x32 ) ;
若 | E-A| 0，
则 1 一定是A的特征值
若 | 2E-A| 0，
则 2 一定是A的特征值
若 | E A| 0，
则 - 1 一定是A的特征值
3、设三阶方阵 A 的特征多项式为 f () 3 22 2 5 ，则 | A | ________
4. 设 为 n 维线性空间 V 的一个线性变换，则由 的秩＋ 的零度＝ n ，有
为 V 的一组基，并且有
(1) 1 22 23, (2 ) 2Hale Waihona Puke Baidu 2 23, (2 ) 21 22 3,
求 的值域V 和核 1(0) 。
V (V ) 1(0) .（ × ）
5. 设 是 线 性 空 间 V 的 一 个 线 性 变 换 ， 1,2,...,s 线 性 无 关 ， 则 向 量 组
(1), (2 ),..., (s ) 也线性无关.（× ）
6. 线性空间V 中任一非零向量皆为数乘变换 K 的特征向量.（ ）
的核 A 1(0) 的一组基合起来是V 的一组基.
不一定是直和
8,. 数域 P 上 n 维线性空间V 的零变换 O 的值域及核的维数分别是(
).
A. 0, 0
B. 0, n
C. n, 0 D. n, n
4. 设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵，定义 n 维列向量空间 Pn 的线性变换 ：
(D) 在 P[x] 中，定义 f (x) f (x0 ) ,其中 x0 为 P 中一个固定的数。
2.下面命题正确的是( C )
A. A 是 n 维线性空间V 的线性变换，则 A 唯一确定一个 n 级矩阵; B. A 是 n 维线性空间V 的线性变换，则 A 关于任意基的矩阵是可逆的; C. 两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵; D. 两个 n 级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.
相似矩阵
相同的特征多项式；
相同的特征值；
相同的迹；相同的行列式 上述结果逆命题不成立
D
5. 设 A 是 3 阶方阵，它的特征值分别为 0、1、2，则下列
矩阵可逆的是（ C）
(A) A2 ; (B) A2 A ; (C) I A ; (D) 2I A .
注：特征值就是特征方程 E-A =0 的根
5. 设 1, 2 是方阵 A 的属于特征值 0 的两个不同的特征向量，
则如下为 A 的特征向量的是( C )
A. k1
B. k 2
C. 1 2
D. 1 2
注意：特征向量是非零向量.
× 7. (
)设 A 是线性空间V 上的一个线性变换, 则 A 的值域 A V 的一组基与 A
1.设 A 和 B 为数域 P 上的 n 阶方阵，则 A 和 B 相似当且仅当 (A) A 和 B 有相同的特征值； (B) A 和 B 有相同的秩；
(C√) 存在着行列式不为零的 n 阶方阵 T 使得 B T 1AT ；
( D) A 和 B 有相同的迹。
注意：选项A,B,D均为相似必要条件 2. 两个矩阵相似当且仅当它们有相同的特征多项式 ( × )
( ) A , Pn ， 则 dim( 1(0)) 和 dim( (Pn )) 分别为（ ）
(A) r, n r ； (B) r,r ； (C) n r, r ； (D) n r, n r .
练习：设 为数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，设 1, 2 , 3