概率统计及随机过程：8.3 置信区间

第三节 置信区间
一、置信区间
设总体分布含有一未知参数，又 x1,x2,,xn为来自于总体的样本，若对于 给定(0<<1)，统计量1(x1,x2,,xn)和 2(x1,x2,,xn)满足
P{1(x1, , xn) 2(x1, , xn)} 1
则称区间[1,2]为相应于置信度是1的置信区间，简称置信区间。
可以找到一个数z1-/2 ，使
P{U
z1 } 2
( z1 2
)
1
2
进而有
P{| U
|
z
1
}
1
2
即
P
x
/
n
z1 2
1
P
x
z1 2
n
x
z1 2
1
n
12
区间
[x z12
,
n
x
z1
2
]
n
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当＝0.05时,查标准正态分布表
得临界值
z12 z0.975 1.96
此时的置信区间是
[x 1.96 , x 1.96 ]
n
n
当＝0.01时,查标准正态分布表 得临界值
z1 z0.995 2.58 2
此时的置信区间是
x
2.58
n
,
x
2.58
n
14
例1. 已知某种滚珠的直径服从正态分布，且 方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随 机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm） 为
(n
1)
t0.975
(8)
2.306
2
因此，在方差2未知的情况下，的
置信区间是
x 2.306
s , x 2.306 9
s 9
20
例2 : 设有某种产品,其长度服从正态分 布，现从该种产品中随机抽取9件,得样
本均值 ＝x9.28(cm),样本标准差 s＝
0.36(cm),试求该产品平均长度的90％ 置信区间.
使得
t1 (n 1) 2
P
T
t 1
2
(n 1)
1
2
PT
t1 2
(n
1)
1
P
x
s/ n
t1 2
(n
1)
1
19
即
P
x
t1 2
(n
1)
s n
x
t1 2
(n 1)
s
1
n
故得均值的置信区间为
x
t1 2
(n
1)
s n
,
x
t1 2
(n
1)
s
n
当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值
t
1
设
X1,
X 2,,
X n 是来自正态总体X
~
N
(
1
,
2 1
)
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym
是来自正态总体 Y
~
N
(
2
,
2 2
)
的一个简单随机样本
它们相互独立.
令
X
1 n
n i1
Xi
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
Y
1 m
m
Yj
j1
S
2 2
1 m 1
m
(Y j
j1
Y )2
6
则
(n
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96 2
x 1 (14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6
2 0.06, 0.06 , n 6
2
(m
1)S22
2
~ 2 (n m 2)
X Y
与
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
相互独立
9
( X Y ) (1 2 )
2 2
nm
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
nm2
( X Y ) (1 2 )
1 1 (n 1)S12 (m 1)S22
~ t(n m 2)
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
(1
,
2
n
)
Y
1 m
m
Yj
j 1
~
N
(2
,
2
m
)
X
Y
~
N (1
2
2
, n
2
) m
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 2
nm
8
(n 1)S12
2
~
2(n 1)
(m 1)S22
2
~
2(m 1)
(n 1)S12
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计
实际应用中往往是D(X)未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
x
1 n
( x1
x2
xn
1) S12
2 1
~
2 (n
1)
(m 1)S22
2 2
~
2(m
1)
S12
2 1
S22
~
F (n 1, m 1)
(3)
2 2
若 1 2 则
S12
S
2 2
~
F(n
1, m 1)
7
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N(1, 2 ) 的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体 Y ~ N (2, 2 )
)
~
N(,
2
n
)
U x ~ N (0,1) / n
17
s 2 1
n
(x x)2
n 1 i i 1
V
(n 1) s2
~
2 (n 1)
U与V独立
2
根据第七章定理四，统计量
T x U
~ t(n 1)
s/ n V
(n 1)
请比较U与T U x ~ N (0,1) / n
对给定的，查t分布表可得临界值
设 X ~ N(, 2) E(X ) , D(X ) 2
总体的样本为(
)，则
X ~ N(, 2 )
n
X
Baidu Nhomakorabea
~
N (0,1)
n
(n 1)S 2
2
n i1
Xi
X
2
~
2 (n 1)
(n 1)S 2 与 2
X
相互独立
(1)
X
S
X S
~ T (n 1)
(2)
n
n
5
( II ) 两个正态总体
1,2分别称为置信下限和置信上限. (1-)称为置信度。
注意：区间[1,2]是随机区间。 二、单侧置信限
若对于给定的(0<<1),统计量 1(x1,x2,,xn)满足
P{ (x ,, x )} 1
1
1
n
2
则称区间[1,+)为相应于置信度是1- 的单侧置信区间，1称为置信度是1-的 单侧置信下限。类似，满足下式
P{ 2 (x1, , xn )} 1
的2为单侧置信上限。 问题: 如何确定总体参数的区间估计 [1,2]呢？对于一般总体是难于确定的.现 仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区 间估计这对许多实际应用已经够了.
第四节 正态分布均值和方差 的区间估计
4
抽样本分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
nm
nm2
(4)
10
一. 均值EX的区间估计 下面分两种情况进行讨论。 1.方差DX已知，对EX进行区间估计
设总体X~N(,2)，其中2已知， 又X1,X2,,Xn为来自于总体的样本。
由第七章第三节中的结论可知
X
1 n
(X
1
X
n
)
~
N
(,
2
n
)
于是
U X ~ N (0,1) / n
11
由标准正态分布可知，对于给定的，