1函数定义域值域求法总结

(题型二) :已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
一般地，若已知 f［g（ｘ)]的定义域为［a,b]，求函数 f(x）的定义域时，由于 x 和ｇ(x) 受同一个对应法则的作用, 所以 f(ｘ)的定义域即为当 a≤x≤b 时,g(x)的取值范围。
(题型三) :已知f gx的定义域,求f h(x)的定义域
练习:设 f (x) 的定义域是[3,
2 ],求函数 f (
x 2) 的定义域新疆 王新敞
奎屯
解：要使函数有意义，必须: 3 x 2 2 得: 1 x 2 2
∵ x ≥0 ∴ 0 x 2 2
0 x64 2
∴ 函数 f ( x 2) 的定域义为: x | 0 x 6 4 2
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析
1、定义域问题
例 1 求下列函数的定义域:
① f (x) 1 ；② f (x) 3x 2 ；③ f (x) x 1 1
x2
2x
解:①∵ｘ-２＝０,即ｘ=２时，分式 1 无意义， x2
而 x 2 时,分式 1 有意义，∴这个函数的定义域是x | x 2.
∴这个函数的定义域是{ x | x 1且 x 2 }
同时有意义,
另解：要使函数有意义,必须:
x 1 0 x 1
2 x 0
x
2
例 2 求下列函数的定义域：
① f (x) 4 x2 1
1 函数定义域值域求法总结 ② f (x) x2 3x 4 x 1 2
③ f (x) 1 1 1 1 1 x
x2
②∵3x＋2<0，即 x<- 2 时,根式 3x 2 无意义, 3
而 3x 2 0,即 x 2 时,根式 3x 2 才有意义， 3
∴这个函数的定义域是{ x | x 2 }. 3
③∵当 x 1 0且2 x 0 ,即 x 1且 x 2 时,根式 x 1 和分式 1 2x
4
∴函数 y
f (x
1) 4
f
(x
1 4
)
的定义域为：
x
|
3 4
x
3
4
例 5 已知 f(x）的定义域为[－1，１]，求 f（2ｘ－１）的定义域。 分析：法则 f 要求自变量在[－1,1]内取值,则法则作用在 2x－1 上必也要求２x－1 在 [-1,１]内取值， 即－1≤2x－１≤1，解出ｘ的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考ｆ(2x-1）中 2x－１与 f(ｘ)中的 x 位置相同,范围也应一样，∴-1≤2x-１≤1,解出 x 的取值范围就是复合函 数的定义域。
x 3或 3 x 1或x 4 ∴定义域为:{ x| x 3或 3 x 1或x 4 }
③要使函数有意义,必须:
x0
1 1 0 x
1 1 0
1 1
x
x0
x 1
x1 2
∴函数的定义域为:{x | x R且x 0,1, 1} 2
④要使函数有意义，必须：
x 1 0
x 1
x
x
0
x
0
∴定义域为：x | x 1或 1 x 0
⑤要使函数有意义,必须：
x2 30
3x 7 0
xxR73
即 x< 7 或 x> 7
3
3
∴定义域为:{x | x 7} 3
例3
若函数 y
ax2 ax 1 的定义域是Ｒ,求实数 a
的取值范围 新疆 王新敞
奎屯
a
解：∵定义域是Ｒ,∴ ax2 ax 1 0恒成立， a
⑤y x2 3 1 3 3x 7
④ f (x) (x 1)0 x x
解：①要使函数有意义,必须: 4 x2 1 即: 3 x 3
∴函数 f (x) 4 x2 1 的定义域为： [ 3, 3 ］
②要使函数有意义，必须:
x
2
x
3x 4 0 120
x
x
4或x 1 3且x 1
( 6 ） x 0 中ｘ 0
二、值域是函数 y=f(ｘ)中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法
（2)图象法(数形结合)
(3)函数单调性法
(４）配方法
（5）换元法 （包括三角换元) (6）反函数法(逆求法)
（7）分离常数法 (８）判别式法
(9)复合函数法
（10）不等式法 (11)平方法等等
例 7 已知 f(２x-1)的定义域为[０,１],求 f(x）的定义域 因为 2x-1 是 R 上的单调递增函数，因此由２ｘ－1, x∈[０，1］求得的值域［－１,1]是 f(x）的定
1 函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结
1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 题型(一):已知f (x)的定义域,求f[g(x)]的定义域 一般地,若已知 f(ｘ)的定义域为[ａ,b],求函数 f[ｇ(x）］的定义域时,由于分别在两个函数中的 x 和 g(x)受 同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此 f[g（ｘ)]的定义域即为满足条件ａ≤g（ｘ)≤b 的 x 的取值 范围。
（注意：f(x)中的 x 与 f(2x-1）中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。) 解：∵ｆ(x)的定义域为[－1，1], ∴－1≤2ｘ－1≤1,解之 0≤x≤１, ∴f（2ｘ-1)的定义域为[０,1］。
例 6 已知已知 f(x）的定义域为[-1，1]，求 f(x2)的定义域。 答案:-１≤x2≤1 x２≤1 -1≤x≤1
1 函数定义域值域求法总结
∴
等价于
a0 a2 4a
1Baidu Nhomakorabeaa
0
0
a
2
例4
若函数 y
f (x) 的定义域为[1,１］,求函数 y
f (x 1)
f (x 1) 的定义域 新疆 王新敞
奎屯
4
4
解：要使函数有意义，必须:
1 1
x x
1
4 1
1
1
5
4 3
x x
3
4 5
3 4
x
3 4
4
4
定义域是 X 的取值范围,g(x)和 h(ｘ)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。
f gx f x f h(x)
练习3 :已知f log3 x的定义域[3,9], 求f (2x1)的定义域
1 函数定义域值域求法总结
一、定义域是函数ｙ=f(x）中的自变量ｘ的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手: （１）分母不为零 （２）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于 0。 （4)指数、对数的底数大于 0，且不等于１ （5)ｙ=taｎx 中 x≠kπ+π/２;y=ｃotx 中 x≠kπ等等。