用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)

取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
x 0,都有f x 0显然 f 0 0,则称f为正定二
次型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x) 0,则称 f为负定二次型,并称对称矩阵 A是负定的.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法；
子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a11 a1r
1r
0, r 1,2, , n.
ar1 arr
(3)特征值判别法. 特征值全小于零
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
y2 2 y3
y3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 2 y2
x3 0 0 1 y3
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 y12 y22 .
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得
f 2z12 2z22 6z32 .
所用变换矩阵为
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3
2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
1 2,
C 1 0.
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
解 由于所给二次型中无平方项，所以
令
x1 x2
y1 y1
y2 y2 ,
即
x1 x2
1 1
于是A的特征值为1 3, 2 3 4 1.
当1 3时,解方程( A 3E)x 0,
1
1
得基础解系 1
11,
1
单位化即得
p1
1 2
111.
当 2 3 4 1时,解方程( A E )x 0,
可得正交的基础解系
1 0 1
2
10 ,
3
0 1
,
2
且有
f
3 y12
y22
y
2 3
y42 .
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
11,
0
1
1
1 2
0
1 2
单位化即得
p2
1
0 0
2
,
p3
1 1
0
2 2
,
p4
1 2 12 1 2
于是正交变换为
x1 1 2
x2
x3 x4
1 2 1 2 12
12 12
0 0
0 0 12 12
1 2 y1
1 2 y2
12 1 2
y3 y4
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有
xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
y2
y ,
2
,
或
z3 y3 ,
y1 y2
z1
z z2,
3
,
y3 z3 ,
得标准形
f
z
2 1
z
2 2
z
2 3
,
所用可逆线性变换为
x1 x2
z1 z1
z2 z2
z3, z3,
x3 z3 .
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax,如果对任何
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1 x2 x3 2
去掉配方后多出来的项
x22 x32 2x2 x3 2x22 5x32 6x2 x3
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
f
1 y12
n
y
2 n
.
例2 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 来自百度文库 14
17 2 A E 2 14
k 1,2, ,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11
, a11 0,
a11 a21
a12 0, a22
an1
a1n 0; ann
(3)特征值判别法. 特征值全大于零
负定二次型（负定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法；
对称矩阵 A为负定的充分必要条件是：奇数阶主
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
11
1
1
0 1 2
2
A E ( 1)
0 2 1 2
00
0
( 1)2 1 2 2 1
1
( 1)2(2 2 3) ( 3)( 1)3.
1 1
x3 y3
x3 0 0
0 y1 0 y2 1 y3
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
f 2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 .
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
2 4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
思考题
化二次型
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
为标准形,并写出所作的可逆线性变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平方项,故令
x1
x
2
y1 y1
y2, y2,
x3 y3 ,
有
f
( y1 y3)2
y
2 2
y
2 3
,
再令
z1
z2
y1
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
4. 将特征向量1 , 2 , ,n正交化,单位化,得
1 ,2 , ,n ,记C 1 ,2 , ,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形