二次型及其标准型
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T T T T
到C呢
变 换
其中 1 , 2 ,, n 为实对称方阵 A 的特征值。 C的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量， 其中第j列是j对应的特征向量
海
连
大
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
P130 练习1 例14 x Qy 求正交变换 将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 化 为标准形。
相似矩阵及二次型
内
1 向量的内积、长度及正交性 2 3 4 5
方阵的特征值与特征向量
容 概
相似矩阵
对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型
要
事大
学
6
第五章
相似矩阵及二次型
海
连
大
教学要求
1. 掌握二次型及其有关概念
5.5
2. 掌握化二次型为标准型的两种方法 正交变换法、配方法
二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
例 2 化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成规范型，并求所用的变换矩阵。 解 由于 f 中不含平方项, 含 x1 x2 的乘积项 ， 配 1 1 0 故令 x1 y1 y2
x 1 1 0 y C1 y 0 0 1 2 2 f 2 y1 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3 代入可得 2 2 f 2 y y 2 y 2 y 6 y 1 3 2 3 3 再配方，得
aii xi2 2
n
2 ann xn
称为 n 元二次型。
i , j 1
a
i 1 n
1 i j n
aij xi x j
ij
xi x j
二 次 型 有 关 概 念
海
连
大
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
二次型
主要 问题
寻找可逆的线性变换
作可逆变换 | k |y z 1 1 1 r n | k r | yr z r
课 堂 练 习
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
定义
合 B C AC ，我们称 A 与 B 合同。 同 性质 的 定 （1） 当 C 为正交阵时， C 1 AC C T AC 义 因而正交相似变换也是合同变换。 与 （2） A 与 B 合同 性 A，B 的特征值中正项个数和负项个数相等。 质
aij a ji
a
n
ij
xi x j
x1
x2
xT
a11 a 21 xn a n1
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 f xT Ax A为对称矩阵 an 2 ann xn A x
x x3 3 就把 f 化成标准型（规范型）f 1 所用的变换矩阵为 C 0 0 2 2 f = x1 x2 x3 x2 2 x3 y 3
2 2 y1 y2 1 1 1 2 0 1
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配 方
y3
法
C 1 0
海
连
大
事大
学
第五章
相似矩阵及二次型
2 2 ax bxy cy 1 对于一般的二次曲线
，只要选取适当的坐标旋转变换
x x ' cos y' sin , ' ' y x sin y cos ,
引
就可将曲线方程化为标准型 mx'2 ny'2 1 （二次齐次式，只含平方项） 在物理、力学及工程也有类似的问题，且往 往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过 适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。
海
连
大
例
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
定义
一
2 f x1 , x2 ,, xn a11 x1 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
含有 n 个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 a22 x2 2a2 n x2 xn
aij a ji
，只有交叉项
xi xj
法
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
例 1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准型，并求所用的变换矩阵。 解 由于 f 中含变量 x1 的平方项,故把含 x1 的项 归并起来，配方可得
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
（1） A一定是对称阵； 2 一 x a （2） A 的对角线上的元素 ii 恰为 i 的系数， （3） aij a ji 是 xi x j 的系数的一半； a11 a12 a1n 二 （4）标准型的矩阵为对角阵； a a a 次 22 2n 21 A （5）规范型的矩阵也是对角阵, 对角元只能为1，-1或0 。
T
设 A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C，使
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
用正交变换法化二次型成标准型，具有保持 向量长度不变（设 Q为 n阶正交阵，y=Q x,则 y x ）的优点。如果不限于用正交变换，还 有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。
配 方
配方法
含有平方项 xi2 不含有平方项 xi2
2 2 2 f x1 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3 不再含x 1
2 2 2 2 3 2 2 2 3
配 方
x1 x2 x3 x x 2 x2 x3 2 x 5 x 6 x2 x3
2 2 = x1 x2 x3 x2 4 x2 x3 4 x 3 继续配方，可得 2
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
2 2 2 f x1 , x2 ,, xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2an1,n xn1 xn二次型的标准型
2 2 2 f z1 z2 z z p p 1 r
规范型
海
连
大
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2an1,n xn1 xn
aij a ji
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
i , j 1
x2 y1 y2 x y3 3
z1 2 y1 y3 令 z 2 2 y2 2 y3 z 3 6 y3
二 正
交
变 换
xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
f x x Ax
T
2 1 1
x cy
c11 c1n c 可逆 c c nn n1
f cy A cy
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
称实矩阵 A 为二次型 f 的矩阵。 f 与 A可建立一一对应的关系,即给了二次 型 f x1, x2 ,, xn ，就可以得到实对称矩阵 A; 反之，给出了一个实对称矩阵 A，就可写出一个二 次型 f 。 A的秩就是二次型 f 的秩。
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
T
f yT cT Acy f yT y diag( k1 , k2 ,, kn )
海
连
大
得到标准型
f k y k2 y k n y
2 2
2 n
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：
x cy 若c 为正交矩阵， x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 在正交变换 x cy 下 2 21 1 22 2 2n n 就可将 f 转化为标 准型 xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：
x1 y1 x y 寻找可逆的线性变换 x cy 记 2 y 2 x x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n yn xn
2 2 2 f k1 y1 k 2 y2 k n yn
a n1
an 2 ann
y1 k1 0 0 y2 y1 y2 yn 0 0 0 0 k n y 2 2 2 2 n f y1 y p y p1 yr
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
定理
二
因为实二次型的矩阵 A 为实对称方阵，故对 正 T 任一个 n 元实二次型 f x x Ax，一定可以找到 如何得 一个正交变换 x cy ，使得 交
f x Ax y c Ac y y y 2 2 2 1 y1 2 y2 n yn 其中 C为正交阵 C 1 AC C T AC diag(1 , 2 ,, n )
海
连
大
练习
2 f ( x , x , x ) x 将二次型 1 2 3 2 2 x1 x2 4 x2 x3
写成矩阵形式 f ( x ) xT Ax ，并求出 f 的秩。
课 堂 练 习
答案
f x1 x2 0 x1 0 1 x 3 1 1 2 x 2 R f R A 2 0 2 0 x 3
型 有 关 概 念
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
f x Ax x1
T
x2
a11 a xn 21 a n1
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
法
f = x1 x2 x3 x2 2 x3
2
2
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
例 1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准型，并求所用的变换矩阵。 y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 y2 x2 2 x3 即 y2 2 y3 x2
寻找可逆的线性变换
二 正
交
变 换
f x x Ax
T
2 1 1
x cy
f cy A cy
T
f yT cT Acy f yT y diag( k1 , k2 ,, kn )
海
连
大
得到标准型
f k y k2 y kn y
2 2
2 n
到C呢
变 换
其中 1 , 2 ,, n 为实对称方阵 A 的特征值。 C的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量， 其中第j列是j对应的特征向量
海
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大
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
P130 练习1 例14 x Qy 求正交变换 将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 化 为标准形。
相似矩阵及二次型
内
1 向量的内积、长度及正交性 2 3 4 5
方阵的特征值与特征向量
容 概
相似矩阵
对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型
要
事大
学
6
第五章
相似矩阵及二次型
海
连
大
教学要求
1. 掌握二次型及其有关概念
5.5
2. 掌握化二次型为标准型的两种方法 正交变换法、配方法
二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
例 2 化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成规范型，并求所用的变换矩阵。 解 由于 f 中不含平方项, 含 x1 x2 的乘积项 ， 配 1 1 0 故令 x1 y1 y2
x 1 1 0 y C1 y 0 0 1 2 2 f 2 y1 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3 代入可得 2 2 f 2 y y 2 y 2 y 6 y 1 3 2 3 3 再配方，得
aii xi2 2
n
2 ann xn
称为 n 元二次型。
i , j 1
a
i 1 n
1 i j n
aij xi x j
ij
xi x j
二 次 型 有 关 概 念
海
连
大
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
二次型
主要 问题
寻找可逆的线性变换
作可逆变换 | k |y z 1 1 1 r n | k r | yr z r
课 堂 练 习
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
定义
合 B C AC ，我们称 A 与 B 合同。 同 性质 的 定 （1） 当 C 为正交阵时， C 1 AC C T AC 义 因而正交相似变换也是合同变换。 与 （2） A 与 B 合同 性 A，B 的特征值中正项个数和负项个数相等。 质
aij a ji
a
n
ij
xi x j
x1
x2
xT
a11 a 21 xn a n1
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 f xT Ax A为对称矩阵 an 2 ann xn A x
x x3 3 就把 f 化成标准型（规范型）f 1 所用的变换矩阵为 C 0 0 2 2 f = x1 x2 x3 x2 2 x3 y 3
2 2 y1 y2 1 1 1 2 0 1
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配 方
y3
法
C 1 0
海
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大
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第五章
相似矩阵及二次型
2 2 ax bxy cy 1 对于一般的二次曲线
，只要选取适当的坐标旋转变换
x x ' cos y' sin , ' ' y x sin y cos ,
引
就可将曲线方程化为标准型 mx'2 ny'2 1 （二次齐次式，只含平方项） 在物理、力学及工程也有类似的问题，且往 往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过 适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。
海
连
大
例
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
定义
一
2 f x1 , x2 ,, xn a11 x1 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
含有 n 个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 a22 x2 2a2 n x2 xn
aij a ji
，只有交叉项
xi xj
法
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
例 1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准型，并求所用的变换矩阵。 解 由于 f 中含变量 x1 的平方项,故把含 x1 的项 归并起来，配方可得
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
（1） A一定是对称阵； 2 一 x a （2） A 的对角线上的元素 ii 恰为 i 的系数， （3） aij a ji 是 xi x j 的系数的一半； a11 a12 a1n 二 （4）标准型的矩阵为对角阵； a a a 次 22 2n 21 A （5）规范型的矩阵也是对角阵, 对角元只能为1，-1或0 。
T
设 A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C，使
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
用正交变换法化二次型成标准型，具有保持 向量长度不变（设 Q为 n阶正交阵，y=Q x,则 y x ）的优点。如果不限于用正交变换，还 有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。
配 方
配方法
含有平方项 xi2 不含有平方项 xi2
2 2 2 f x1 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3 不再含x 1
2 2 2 2 3 2 2 2 3
配 方
x1 x2 x3 x x 2 x2 x3 2 x 5 x 6 x2 x3
2 2 = x1 x2 x3 x2 4 x2 x3 4 x 3 继续配方，可得 2
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
2 2 2 f x1 , x2 ,, xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2an1,n xn1 xn二次型的标准型
2 2 2 f z1 z2 z z p p 1 r
规范型
海
连
大
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2an1,n xn1 xn
aij a ji
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
i , j 1
x2 y1 y2 x y3 3
z1 2 y1 y3 令 z 2 2 y2 2 y3 z 3 6 y3
二 正
交
变 换
xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
f x x Ax
T
2 1 1
x cy
c11 c1n c 可逆 c c nn n1
f cy A cy
一
二 次 型 有 关 概 念
事大
学
称实矩阵 A 为二次型 f 的矩阵。 f 与 A可建立一一对应的关系,即给了二次 型 f x1, x2 ,, xn ，就可以得到实对称矩阵 A; 反之，给出了一个实对称矩阵 A，就可写出一个二 次型 f 。 A的秩就是二次型 f 的秩。
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
T
f yT cT Acy f yT y diag( k1 , k2 ,, kn )
海
连
大
得到标准型
f k y k2 y k n y
2 2
2 n
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：
x cy 若c 为正交矩阵， x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 在正交变换 x cy 下 2 21 1 22 2 2n n 就可将 f 转化为标 准型 xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn ,
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
连
大
事大
学
前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：
x1 y1 x y 寻找可逆的线性变换 x cy 记 2 y 2 x x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n yn xn
2 2 2 f k1 y1 k 2 y2 k n yn
a n1
an 2 ann
y1 k1 0 0 y2 y1 y2 yn 0 0 0 0 k n y 2 2 2 2 n f y1 y p y p1 yr
法
事大
学
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
定理
二
因为实二次型的矩阵 A 为实对称方阵，故对 正 T 任一个 n 元实二次型 f x x Ax，一定可以找到 如何得 一个正交变换 x cy ，使得 交
f x Ax y c Ac y y y 2 2 2 1 y1 2 y2 n yn 其中 C为正交阵 C 1 AC C T AC diag(1 , 2 ,, n )
海
连
大
练习
2 f ( x , x , x ) x 将二次型 1 2 3 2 2 x1 x2 4 x2 x3
写成矩阵形式 f ( x ) xT Ax ，并求出 f 的秩。
课 堂 练 习
答案
f x1 x2 0 x1 0 1 x 3 1 1 2 x 2 R f R A 2 0 2 0 x 3
型 有 关 概 念
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
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大
事大
学
f x Ax x1
T
x2
a11 a xn 21 a n1
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
法
f = x1 x2 x3 x2 2 x3
2
2
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
海
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大
事大
学
例 1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
成标准型，并求所用的变换矩阵。 y1 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 令 y2 x2 2 x3 即 y2 2 y3 x2
寻找可逆的线性变换
二 正
交
变 换
f x x Ax
T
2 1 1
x cy
f cy A cy
T
f yT cT Acy f yT y diag( k1 , k2 ,, kn )
海
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大
得到标准型
f k y k2 y kn y
2 2
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