结构力学第五版 李廉锟 第八章位移法

c) 基本体系 C
A Z1
第八章 位移法
l 2
FP EI=常数
l 2
FP
l
通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超 静定梁,称其为位移法基本结构,而附加约束的 位移称为位移法的基本未知量Z。受基本未知量 和外因共同作用的基本结构称为基本体系。
第八章 位移法
第八章 位移法
基本结构与原结构有两点区别： 原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构 在外因作用下是无结点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。 消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。
Z1 F Z2 C A D Z3 G H Z3 E B Z4 F Z3 C A D E B G H
第八章 位移法
三、位移法的基本体系
A
1
l/2
FP l/2 C
F1=0 Z1 A
1 1
FP C
F1 A
图a所示刚架的基本未知量为结点 A的转角Z Z1。在结点 Z Z Z A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图 b）。 EI =常数 同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结 B B 构，称为基本体系（图c）。
1
△
2
△
3
△
4
5
6
(a)
事实上，图 (a)( 所示结构的独立线位 将刚结点 包括固定支座)都变成 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 铰结点 ,则使其成为几何不变添加的 位移数目是相同的。因此，实用上 最少链杆数，即为原结构的独立线位 为了能简捷地确定出结构的独立线 22 位移数目，可以 移数目。
(b)
第八章 位移法
1. 独立角位移数目=结构刚结点的数目 2. 独立线位移数目=将刚结都变成铰结后,使其成为 几何不变所需添加的最少链杆数 注意: 1. 刚度=杆件所联结的结点,角位移相同; 2. 静定部分的内力直接由平衡方程求得,确定位移法
基本未知量时无需再考虑;
3. 位移法的基本未知量个数与超静定次数无关.
为什么要研究等截面直杆的转角位移方程？ 1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作 为其计算基础的。 2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间 恒具有一定的关系——“转角位移方程 ” 。
3、渐近法中也要用到转角位移方程。
第八章 位移法 §8-2 等截面直杆的转角位移方程
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨 超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产 生位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以 及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。
2i 4i 6i l
EI i－线刚度 l
第八章 位移法
固端弯矩：单跨超静定梁在荷载及温度变化等外因作用下 所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪 力。用MfAB、 MfBA、FfAB、FfBA 表示。
两端固定梁的转角位移方程
M AB M BA
6i F 4i A 2i B AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
第八章 位移法
二、位移法的基本结构
位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附 加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根 单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是：把每一根 杆件都暂时变为一根单跨超静定梁。通常的做法是：在每 个刚结点上假想地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动 ),同时在有线位移的结点上沿线位移的方向加上附加支座 链杆(阻止结点移动)。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
(1) 独立角位移数目 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 固定支座处，转角=0,已知量; 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 独立角位移数目=结构刚结点的数目 例如, 图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
4 5 6 1 2 3
第八章 位移法 基本思路：
——以角位移Z1为基本未知量——表示Mij（Z1） ——结点1的力矩平衡——平衡条件 基本方程：ΣM1 = 0 M12（Z1） + M13（Z1） = 0 可解基本未知量Z1 —— 结果杆端力（矩） M12（Z1） 、M13（Z1）、M21（Z1） —— M图
可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本 未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内 力即可求出。这就是位移法的基本思路
6i
12i
3i
l
l2
l
6i
f=1
B B
3i
1
0 0
3i
l
3i
l2
A
f=1
B
i
-i
0
第八章 位移法
四、转角位移方程-载常数 两端固定受均布荷载：
q
1
C X1
ql 12
2
A
l/2
C
l/2
B
M1
ql 2 8
C X1=1
ql 2 12
1l 1 l 11 EI EI 1P ql 2 X1 11 24
11 X 1 12 X 2 1 A 21 X 1 22 X 2 2 B
11 22
l 3EI
1/l
l 12 21 6 EI
1 2 1 AB AB l
第八章 位移法 （3）B端滑动支座
令 B 0，且FSAB FSBA 0 AB
M AB i M BA i
l A 2
第八章 位移法
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
A A A A
MAB
B B
MBA
VAB= VBA
f=1
4i
1
2i
l
6i l
1
l
B
l/2 A Z1 Z1
FP l/2 C
F1=0 A Z1 Z1 A
A
FP
l/2
FP l/2
F1P A
F1=0 Z1 C A Z1 Z1
FP
FP C
F11
C C C
F1P
Z Z 1
1
A A
Z1 EI =常数
l
Z1
EI =常数 B
l
BB
B
B
B
B
B
F11
F11
a) A 原结构C
b)
A
C 基本结构
Z1 A Z1 Z1
EI i 称为“线刚度”、 AB 称为“旋转角” l l
第八章 位移法
一端（B端）有不同支座时的刚度方程 （1）B端固定支座
6i 令 B 0， M AB 4i A l 6i M BA 2i A l
（2）B端铰支座
1 6i 令M BA =0 B 2i A－ 4i l 3i M AB 3i A l
第八章 位移法
一、位移法的基本思路
将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即： 结构
拆成 搭接成 杆件 第二步 第一步
结构
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端 位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点
位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
第八章 位移法
第八章 位移法 §8-1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
第八章 位移法
基本概念：（以刚架为例） n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形， 结点位移 Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件 各杆1端转角Z1 被动位移→主动位移 12杆：两端固定，作用P、 Z1 13杆：一端固定、一端铰支， 作用Z1 ◎力法可解各杆杆端力（矩） M12、M13为位移Z1的函数
2 1 1 2 l ql 3 1P ( ql 1) EI 3 8 2 24 EI
ql 2 24
第八章 位移法
q
ql 12
2
ql 2 8
ql 2 12
A
l/2
C
l/2
B
ql 2 24
M AB
ql 2 12
0 AB
M BA
ql 2 12
VAB
M AB M BA ql V 2 l
第八章 位移法
(2)独立线位移数目 每一结点可能有水平和竖向两个线位移。(受弯杆件略去轴向 变形，弯曲变形微小，变形后长度不变，每一受弯直杆=一个约束， 可减少结点线位移数目)，结构只有一个独立线位移(侧移)。
4、5、6 三个固定端均不动， 结点1、2、3均无竖向位移, 又因 两根横梁长度不变，故三个结点均 F 有相同的水平位移△ 。
第八章 位移法
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构 1.位移法的基本未知量
刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变）
位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 计 算时应首先确定独立的角位移和线位移数目。
第八章 位移法
l 2 l 2
A A
l 2
M P
0 0
0
9M 8l
11P 16 5ql 8
9M 8l
l 2
B
3Pl 16
5P 16 3ql 8
q
B
ql 2 8
其他荷载情况下的载常数可参见表8－1（P181－184）。
第八章 位移法
注意：
表8-1列出了常见的形常数和载常数。形常数要求 牢记（表8-1） ，载常数要会查表。表中单位角位移、 线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。
位移法要点：一分一合
①确定基本未知量（变形协调）
——基本体系——独立受力变形的杆件
②结构→杆件——杆件分析（分） ——转角位移方程（杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数
关系）
③杆件→结构——整体分析（合） ——建立基本方程（平衡条件） ——求解基本未知量（结点位移）
第八章 位移法 §8-2 等截面直杆的转角位移方程
0 BA
ql M AB M BA VBA V 2 l
第八章 位移法
由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数
单跨超静定梁简图
MFAB
MFBA
VFAB
VFBA
q
A A A
l 2 l 2
P
B B B
ql 2 12
Pl 8
M 8
ql 2 12
Pl 8
ql 2
P2
ql 2
P 2
位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
第八章 位移法 ql /12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ R q
2
R1P
q
ql2/12
1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
பைடு நூலகம்
A
l
βA
C
R1=0
A
Z1
C
R1P
ql 2 R1P 12
ql2/12
EI=常数
B
Z1 A
B
R1 0 R1 0
1 2 3
例如：(见图a) 基本未知量三个。
4 5 6
(a)
第八章 位移法
所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点 上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附 加约束。
表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端 也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。 如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所 列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左） 是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。 当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移 方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。
MAB MBA B
（绕结点逆时针为正）
● ● ●
A
A A′ AB B
8
B′
第八章 位移法
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB 弦转角βAB = ΔAB∕l
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
第八章 位移法
一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定） 远端固定 远端铰支 远端滑动支座 （定向支座)。
A
B
A
B
A
B
第八章 位移法
杆端内力、位移的符号规定：
●
杆端弯矩: MAB表示AB杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正 杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前)。 结点转角：以顺时针转为正。 杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。
1/l
第八章 位移法
6i M AB X 1 4i A 2i B AB l M X 2i 4i 6i BA 2 A B AB l
4i M AB M BA ＝ 2i F SAB 6i l 6i l A 6i B l AB 12i l2