初中数学规律探究题解题方法

初中数学规律探究题的解法指导

广南县篆角乡初级中学郭应龙

新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

一、数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……

(1)

2

n n+

③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=

(1)

2

n n+

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

⑦ 12+22+32….+n2=1

6

n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=

1

4

n2(n+1）

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法

例1.观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

④4×4

5

=4-

4

5

n×

1

n

n+

=n-

1

n

n+

例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么

32009的个位数字是。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：3

2.函数法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

则a n= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b

第一次求差： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1

∴a n=3n+1

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

分析：对这组数据做求差处理：原数 1 2 5 10 17 26

第一次求差：1 3 5 7 9

第二次求差：2 2 2 2

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）

解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 ∴当=8时，y=50

尝试练习：

1.观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将

你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：。

2.观察下列各式：2

1

×2=

2

1

+2；

3

2

×3=

3

2

+3；

4

3

×4=

4

3

+4；

5

4

×5=

5

4

+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.

n(n≥1)的代数式表示出来为。

4.已知：2+2

3

=22×

2

3

；3+

3

8

=32×

3

8

；4+

4

15

=42×

4

15

；5+

5

24

=52×

5

24

…，若

10+b

a

=102×

b

a

符合前面式子的规律，则a+b= 。