归纳与类比

类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, 且请归an纳1 出 1这a个nan数( 列n ＝的1通，项2公，式3，为··_·_)a，_n___1n__.
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
统计初步中的用样本估计总体
通过从总体中抽取部分对象进行观测或 试验，进而对整体做出推断.
成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6 的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数） 之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想
(a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇 质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇 质数之和。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”. 你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A
Ｂ c2=a2+b2
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
但是，利用归纳推理得出的结论不一 定是正确的.
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如
的数都是质数这就是著名
的"费马猜想"
………
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证 明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem).“任何充份大
的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅 是两个质数的乘积”,通常都简称这个结果为大偶数 可表示为 “1+2”的形式。
陈氏定理 (Chen‘s Theorem)
任何充分大的偶数都是一个质数与 一个自然数之和，而后者仅仅是两个 质数的乘积, 简称为 “1 + 2 ” 。
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
哥德巴赫猜想(a)都成立。
200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
………
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想： F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
归哥纳德推巴理赫猜的想过的程过：程：
近百年后的1732年，瑞士数学家 欧拉发现
费马
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求 质数的公式.以后,人们又陆续发现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没 有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有 n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.
大胆猜想 小心求证
1，3，5，7，…，由此你猜想出第n 个数是__2_n__1__.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3.
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
来自百度文库
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F)
4 5 5
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
顶点数(V)
4 5 6
棱数(E)
6 8 9
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
1
3
欧拉
• 哥尼斯堡七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河 上有7座桥，将河中的两个岛和河岸 连结， 城中的居民经常沿河过桥散 步，于是提出了一个问题：能否一 次走遍7座桥，而每座桥只许通过一 次，最后仍回到起始地点。这就是 七桥问题，一个著名的图论问题。