1渗流基本理论-7

§6 渗流基本微分方程
a 存在入渗的潜水分水岭地段； b 渗出面附近。渗出面是在下游边界面上，潜水面以下 、下游水面以上的地段。渗出面上潜水面往往和边界 面相切，有较大的垂向分速度。 c 垂直的隔水边界附近。
§6 渗流基本微分方程
3、裘布依微分方程 对于剖面二维流，其中H仅仅随x而变，与z无关，即 H=H(x,t)。对于单宽流量qx，有： （1）含水层隔水底板非水平
（6）各向同性柱坐标系（x = rcosθ、y = rsin θ） 1 H 1 2 H 2 H s H (r ) 2 2 2 r r r r K t z 2 H 1 H 1 2 H 2 H s H 或 2 2 2 2 K t r r r r z
H H H1 H H2 H * H (T ) (T ) K1 K2 x x y y m1 m2 t
上式为越流含水层非稳定流的基本微分方程。
§6 渗流基本微分方程
4、讨论 （1）均质各向同性介质
H H H1 H H 2 H H 2 2 2 2 x y T t B1 B2
上次课复习
1、渗流连续性方程—地下水质量守恒定律 （1）表达式
ρ ∂( v x ) ∂( v y ) ∂( v z ) ρ ρ ∂ [ + + ] xΔ yΔ z = ( n Δ xΔ yΔ z ) Δ ρ ∂x ∂y ∂z ∂t
（2）物理含义 某一渗流场中，流入流出单元体的质量差等于单元 体内液体质量的变化。 （3）实质（机理） 水头变化引起含水层弹性释水（贮水）
导压系数（a）—压力传导系数 描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等 于含水层的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮 水率之比。
a=
T
μ
*
=
K
μs
（2）均质各向同性介质
∂2H ∂2H ∂2H μ s ∂H 1 ∂H + 2 + 2 = = 2 K ∂t a ∂t ∂x ∂y ∂z
§6 渗流基本微分方程
§6 渗流基本微分方程
z c b Qx
P(x,y,z)
V1 b'
c'
3、方程建立
“均衡单元体法”
如右图：
a y
d
Δx
M Δy
d'
Qy
v2 a' x
H Qx KM y x H Q y KM x y H H1 V1 K1 m1 H2 H V2 K 2 m2
o
H
1
o
x
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该点的流速（vs）方向与潜水面相切，由达西定律：
vs KJ K sin
（2）所作假设 由于θ很小，可以用tgθ代替sinθ，为什么用tgθ代替 sinθ ，实质是什么？
由于
dz dH tg , vs Ktg vx dx dx
2、承压水基本微分方程 表达式
∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( xx K )+ ( yy K )+ ( zz K ) =μ s ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t
承压含水层中地下水运动（非均质各项异性、三维 非稳定流、渗透主方向）的基本规律。 地下水渗流过程中质量守恒与能量守恒的体现。
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2 h h hH 2 2 2 i dh 0 , i 2 2 dx h 1 i 2 2
②不能引入Dupuit假设的情况 Dupuit假设是忽略了渗流速度的垂直分量vz，但是 ，有些地段垂向分速度较大，不能采用Dupuit假设 。也就是说，垂向分速度不能忽略。 Dupuit假设无效的地区：
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（7）有源（流入）汇（流出）项W或 一般指垂向补给或排泄。 和W分别为三维流和平面二维流的源汇。分别定义 为单位体积含水层和单位水平面积含水层柱体中，单 位时间内产生（为正值）或消耗（为负值）的水量。
∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( xx K )+ ( yy K )+ ( zz K )+W =μ s ∂x ∂ຫໍສະໝຸດ Baidu ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t
（3）稳定流（均质各向同性） —Laplace方程 表明同一时间内流入单元体的水量等于流出的水量。 （4）二维流（各向同性） 含水层厚度为M，则T=KM，μ*= μsM。
∂2H ∂2H ∂2H + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( K )+ ( K ) =μ s ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t
2 2 *
其中：B1、B2称为弱透水层的越流因素，量纲为L。
T1m1 T2 m2 B1 , B2 K1 K2
K越小，m越大，则B越大，越流量越小。
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B ，弱透水层→隔（阻）水层。 另一个反映越流能力的参数是越流系数σ‘。
K m
'
含义：单位水头差下，通过主含水层和弱透水层间单 位面积界面上的水流量。 σ‘越大，相同水头差下，越流量越大。 ，弱透水层→透（含）水层。 （2）如果垂向上还有别的水量交换，加入源汇项，建 立新的方程。
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（2）渗流场中任何一个局部，都必须满足质量守恒和 能量守恒。 4、数学意义 表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。 5、讨论 （1）各向同性介质
∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( K )+ ( K )+ ( K ) =μ s ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t
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K H K K H
2
1
m
1
M
2
m
2
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渗流连续性方程： Qy Qx [Qx (Qx x)]t [Qy (Qy y )]t x y H * H (V2 V1 )xyt s M xyt xyt t t 化简方程左端，得：
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3、微分方程的物理意义
∂ ∂H ∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( xx K )+ ( yy K )+ ( zz K ) =μ s ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t
（1）方程左端：单位时间单位体积流入、流出单元体 的水量差；
方程右端：该时间段内，单元体弹性释放（贮存） 的水量。即单位体积含水层的水均衡方程。
§6 渗流基本微分方程
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2、假设 除与承压含水层基本微分方程有相同假设条件外： （1）当弱透水层的渗透系数K1比主含水层的渗透系数 K小很多时，近似认为水基本上是垂直地通过弱透水 层，折射90º 后在主含水层中基本上是水平流动的。 （如K1与K相差较小时，用等效渗透系数，非越流） （2）主含水层中水头看作是整个含水层厚度上水头的 平均值，即： 1 M H H ( x, y, t ) 0 H ( x, y, z, t )dz M （3）和主含水层释放的水及相邻含水层的越流量相比 ，弱透水层本身释放的水量小到可以忽略不计。
Qy Qx xt yt (V2 V1 )xyt x y
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代入Qx、Qy、V1、V2，得： H H ( KM )yxt ( KM )xyt x x y y H2 H H H1 * H (K2 K1 )xyt xyt m2 m1 t 方程两端约掉ΔxΔyΔt，得：
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②使三维问题(x,y,z)降阶为水平二维(x,y)问题处理； ③使潜水面边界处理的简单化,直接近似地在微分方程 中处理。
（5）裘布依假定的局限性
①裘布依假定产生的误差 由于Dupuit假设将垂直方向的水流速度vz忽略，简 化了计算，但会产生误差，经验证明当 i 2 1 （ i为潜水面坡度）时，产生的误差很小，误差表达式 为：
，
其实质：用vx代替vs，忽略了vz 。
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5.0
tgq
sinq
t an (q )/ si n( q)
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0 1 11 21 31 41 51 61 71
角度q
tg 、sin的关系图
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（3）裘布依假设的内容 ①由于潜水面比较平缓，假定等水头面呈铅直，水流基 本水平，从而忽略渗流速度的垂直分量vz ； ②铅垂剖面上各点的水头都相等，各点的水力坡度和渗 流速度都相等，水头只在X方向上变化。 实质：潜水渗流→承压水渗流（潜水含水层与承压含 水层有着本质的区别） （4）裘布依假定的应用 ①使剖面二维流问题(x,z)降阶为水平一维问题近似处 理。
ξ是隔水底板的高程。 （2）含水层隔水底板水平—将基准面取在隔水底板处
dH q x v x ( H ) 1 K ( H ) dx
dh qx Kh dx
上两式通常称为裘布依微分方程。
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通过宽度B的铅直平面的流量为: dH Qx KhB , H H ( x) dx 对于一般情况（剖面二维）， H=H（x，y）,则有： h H Vx K ,V y K , x y
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（2）方程建立 考虑剖面二维问题， 在渗流场内取一单元体： 长度为x，宽度为单位 宽度。 流入水量：qΔt； 流出水量：
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z
z
θ
o
潜水运动流网
x
o
承压水运动流网
x
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2、裘布依（Dupuit）假设 （1）依据（前提） ①含水层无垂向入渗或补给； ②大多数情况下，潜水面的 坡角很小； ③含水层底板水平。 在潜水面上任意取一点P 有：
z
P dx θ S
dz vs
dH dz J sin ds ds
K xx
∂H ∂H ∂H + K yy + =μ s ε 2 2 ∂t ∂x ∂y
2
2
§6 渗流基本微分方程 三、越流（半承压）含水层中地下水运动的基 本微分方程
1、基本概念 （1）越流含水层（半承压含水层） 当承压含水层的上、下岩层（或一层）为弱透水层时 ，承压含水层可通过弱透水层与上、下含水层发生水 力联系，该承压含水层为越流含水层，或半承压含水 层。 （2）越流 当承压含水层与相邻含水层之间存在水头差时，地下 水便会从高水头含水层通过弱透水层流向低水头含水 层，这种现象称越流。比如：抽水时。
H H Q x KhB , Q y KhB x y
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3、 Boussinesq方程—潜水基本微分方程 （1）假设条件 ①符合Dupuit假设； ②忽略水的压缩和骨架的压缩—不符合弹性释（贮）水 规律。原因：潜水面是个自由面，相对压强为0； ③潜水含水层隔水底板水平； ④潜水面存在水量的垂向交换W（ W为潜水面处单位水 平面积、单位时间的入渗量, W> 0 ，入渗；W< 0 ， 蒸发） 。
§6 渗流基本微分方程 三、潜水运动的基本微分方程
1、潜水运动的特点 （1）潜水之上的包气带水与潜水之间有垂直方向的 水量交换，只要毛细上升高度远小于潜水层厚度时， 可以用潜水面作为潜水含水层的顶界面。 严格地—潜水面不断变化的。 （2）潜水运动时，潜水面不是水平的，等水头面不 是铅垂面，即：铅垂面上水头不相等，垂向上存在流 速分量，潜水渗流属于三维流。 潜水运动较承压水复杂，问题解决难度加大。
§6 渗流基本微分方程
∂ ∂H ∂ ∂H ∂H ( KM )+ ( KM ) =μ s M ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t
均质：
∂ ∂H ∂ ∂H H * ∂ ( T )+ ( T ) =μ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t
§6 渗流基本微分方程
（5）坐标轴不是渗透主轴 K有9个分量。
∂ ∂ H ∂ H ∂ H ∂ ∂ H ∂ H ∂ H ( K xx K xy K xz ) ( K yx K yy K yz ) ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ ∂H ∂H ∂H ∂H + ( zx K + K zy + K zz ) =μ s ∂z ∂z ∂z ∂z ∂t