双曲线课件(绝对经典)

y＝±bax
c
y＝±abx
离心率
e＝ a ，e∈(1，＋∞)
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 实虚轴 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双
曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
[常用结论与微点提醒] 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2，也叫通径. 2.离心率 e＝ac＝ a2a＋b2＝ 1＋ab22.
B.x42－y52＝1
C.x52－y42＝1
D.x42－y32＝1
(2)(一题多解)设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点
的坐标为( 15，4)，则此双曲线的标准方程是________.
解析 (1)由题设知ba＝ 25，① 又由椭圆1x22 ＋y32＝1 与双曲线有公共焦点， 易知a2＋b2＝c2＝9，② 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为x42－y52＝1. (2)法一 椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标是(0，±3)， 设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
一条渐近线的倾斜角为 30°，则该双曲线的标准方程为( )
A.x92－2y72 ＝1 C.1y22 －2x42 ＝1
B.y92－2x72 ＝1 D.2y42 －1x22 ＝1
解析 (1)由题意知，双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，即 bx±ay＝0，因为双曲线的渐 近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，所以 a|22＋b| b2＝ 3，由双曲线的一个焦点为 F(2，0)可 得 a2＋b2＝4，所以|b|＝ 3，即 b2＝3，所以 a2＝1，故双曲线的方程为 x2－y32＝1.
2， 得|PF1|＝4
2，|PF2|＝2
2，
在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝34.
(2)由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝
由双曲线性质，知 c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中 c 是半焦距)，∴焦距 2c＝2×2|m|
＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.
答案 A
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C：x2－y32＝1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF
与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )
【训练 2】 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线
的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为( )
A.x92－1y32 ＝1 C.x32－y2＝1
B.1x32 －y92＝1 D.x2－y32＝1
(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝24y 的焦点重合，其
即 |0a－2＋abb|2＝ 23b，解得 a2＝3b2，∴e＝ac＝
a2＋a2 b2＝2
3
3 .
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程：ax22－by22＝1，消去 x 得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， x2＝2py，
第6节 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大 于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦 距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且 a>0，c>0： (1)若 a<c 时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为 两条射线 ； (3)若 a>c 时，则集合P为空集.
－ 7)，点 A( 2，0)，点 P 为双曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时，
△PAF 周长的最小值为( )
A.8
B.10
C.4＋3 7
D.3＋3 17
(2)(2018·西安调研)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________.
＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
(2)设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|
＝9，则|PF2|等于________.
解析 (1)由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.
由||PPFF11||－ ＝|2P|PFF2|2＝|，2
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0),A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
性 渐近线 质
规律方法 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方 程并求出 a，b，c 的值.与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为ax22 －by22＝λ(λ≠0). (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
根据定义知 2a＝| （ 15－0）2＋（4－3）2－ （ 15－0）2＋（4＋3）2|＝4，
故 a＝2.又 b2＝32－a2＝5，故所求双曲线的方程为y42－x52＝1.
法二 椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
则 a2＋b2＝9，又点( 15，4)在双曲线上，所以1a62－1b52＝1，解得 a2＝4，b2＝5.故所
)
(4)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.(
)
解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. (3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴 上的双曲线. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要 求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 ||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
【训练 1】 (1)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( )
(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(
A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.若∠ MAN＝60°，则 C 的离心率为________. (2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右支 与焦点为 F 的抛物线 x2＝2py(p＞0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双 曲线的渐近线方程为________.
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5.(选修1－1P54A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方 程为________.
解析 设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点 A(3，－1)代入，得 λ＝8，故所求 方程为x82－y82＝1. 答案 x82－y82＝1
考点一 双曲线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2018·长春质检)双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±233x，一个焦点为 F(0，
解析 (1)如图，点 M，N 所在的渐近线为 ay－bx＝0，圆 A 的圆心 A(a，0)到渐近线 的距离 d＝ |0a－2＋abb|2，又 M，N 均为圆 A 上的点，∴|AM|＝|AN|＝b，又∠MAN＝60°，
∴△MAN 为等边三角形，在△MAN 内，A 到边 MN 的距离为 d＝|AM|·cos 30°＝ 23b，
(2)∵x2＝24y，∴焦点为(0，6)， ∴可设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0). ∵渐近线方程为 y＝±abx，其中一条渐近线的倾斜角为 30°， ∴ab＝ 33，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程为y92－2x72 ＝1.
答案 (1)D (2)B
考点三 双曲线的性质 【例 3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A，以
解析 (1)由已知得双曲线方程为y42－x32＝1，设双曲线的另一个焦点为 F′，则|PF|＝ |PF′|＋4，△PAF 的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当 F′，P，A 三点共
线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为 10. (2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的 距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1). 答案 (1)B (2)x2－y82＝1(x≤－1)
求双曲线的方程为y42－x52＝1. 法三 设双曲线的方程为27x－2 λ＋36y－2 λ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过点( 15，4)，故271－5 λ＋361－6 λ＝1， 解得 λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为y42－x52＝1. 答案 (1)B (2)y42－x52＝1
A.13 解析
1
2
3
B.2
C.3
D.2
由 c2＝a2＋b2＝4 得 c＝2，所以 F(2，0)，将 x＝2 代入 x2－y32＝1，得 y＝±3，
所以|PF|＝3.又 A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D
4.(2017·北京卷)若双曲线 x2－ym2＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________. 解析 由题意知1＋1 m＝e2＝3，则 m＝2. 答案 2
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的
距离为 4，则 n 的取值范围是( )
A.(－1，3)
B.(－1， 3)
C.(0，3)
D.(0， 3)
解析 ∵方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，
8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案 (1)C (2)17
考点二 双曲线的标准方程的求法 【例 2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程
为 y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C 的方程为(
)
A.x82－1y02 ＝1