人教版-双曲线ppt完美课件

b （虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与长轴长的比 e=c/a 焦距与实轴长的比 e=c/a
0<e<1
e>1
三、请思考？
我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几 何性质，那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性 质又如何呢？
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标准方程 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
Ybx a
y
N(x,Y)
Q•
•M(x,y)
y
b
x2 a2
a
b a
x
1
a x
2
0
x
b a
x
Y
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MNYy b (x x 2 a 2 )
a
b
(x
x2 a2 )(x
x2 a2 )
y
a
(x x2 a2 )
ab
( x x2 a2 )
N(x,Y) Q•
•M(x,y)
0
x
在该式子中x (x≥a)逐渐增大时， |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| ＜|MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等
于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩
形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在 其它象限内，我们可类似证明.
四、让我们来讨论
双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点，你认为对吗？讨论并给出答案.
y
B2
F1 A1 0
A2 F2
x
B1
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五、让我们共同分析
例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和 虚半轴长、焦点坐标、离心率. 分析：
①化为标准方程： y2/16-x2/9=1 ②确定焦点位置：在y轴上 ③找出a、b的值：a=4,b=3 ④代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 ⑤写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.
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六、练一练
求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.
(1)x2-4y2=16
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思考：如若求半焦距长和离心率呢？
x=-ay
B2 F1 A1 0
x=a
A2 F2
x
x ≥a 或 x ≤ -a B1
-x代x、-y代y
中心对称，轴对称
顶点 a,b,c的含义
离心率e 的定义
分别令x=0，y=0 A1(-a,0 ) 、A2(a,0)
a (长半轴长) c（半焦距长） a （实半轴长）c （半焦距长）
b（短半轴长) a2=b2+c2
（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过 M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说 明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.
（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？
为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交 矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我 们需证明N点在M点上方，即证y ＜ Y.又 |MQ| ＜ |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且 不等于0即可.
y
B2
F1 A1 0
请思考：结论正确吗?
B1
A2 F2
x
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八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一个方案：
1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；
2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所
在的直线逐渐接近且不相交呢？
0
A2 x
如何得到的？
范围
B1 |x |≤a 、|y |≤ b
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x
对称性
中心对称，轴对称
wk.baidu.com
-x代x、-y代y
顶点
a、b、c的 含义
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
分别令x=0，y=0
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2
离心率e定 焦距与长轴长的比 e=c/a
义
0<e<1
二、想一想？
我们能否用研究椭圆的几何性质的 方法来研究双曲线的几何性质呢？
椭圆
双曲线
标准方程
几何 图形
范围 对称性
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
y
B2 A1 F1 F2
0
A2 x
B1
x2 /a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a、b、c 的含义
a （实半轴长） c（半焦距长） a（实半轴长） c（半焦距长）
b （虚半轴长） a2=c2-b2
b（虚半轴长） a2=c2-b2
离心率e 焦距与实轴长的比 e=c/a
e>1
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
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双曲线的几何性质
陈爱民
x2 y2 1 a2 b2
一、知识再现
前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 几何性质的具体内容及其研究方法.
椭圆
标准方程 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
y
几何 图形
B2 A1 F1 F2
（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？ 我们可用方程的思想解决：
|MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.
y
N(x,Y)
Q•
•
M(x,y)
L
b
0a
x
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（二）、我们来证明
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部
分的方程可写为
yb x2a2(xa ) a
小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长， 然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长 及离心率.
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七、让我们继续研究
请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)的各支向外延伸 时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.
x=-ay
x=a
几何 图形
B2 F1 A1 0
B1
A2 F2
x
范围 对称性
x ≥ a 或 x ≤ -a 中心对称，轴对称
y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)
y
F1
y=a
A2
B1 o A1 B2
x
y=-a
F2
y ≥ a 或 y ≤ -a
中心对称，轴对称
顶点
A1(- a, 0) , A2(a, 0)