人教版-双曲线ppt完美课件
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3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)PPT
【练习】“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
双曲线的标准方程
【典例】根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6); (3)过点 P 3,145 ,Q -136,5 且焦点在坐标轴上.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
利用定义求轨迹方程
1．已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动 圆圆心 E 的轨迹方程为________．
类比：一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切，与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切，求 这个动圆圆心的轨迹方程。
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 | PF1 PF2 |=66,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 3:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
意义同上，这时双曲线的方程是
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
2
2
y x
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
2
2
2
a b
x y
- 2 = 1(a > 0, b > 0)
这个方程也是双曲线的标准方程.
2
a b
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴
上------焦点跟着正项走.
MF1 - MF2 = 2a，
0 < 2a < F1F2
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦点为F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
F1
设||MF1|-|MF2||= 2a( 0<a<c)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点
的集合：
P = { M | | MF1 | - | MF2 | = 2a, 0 < 2a <| F1 F2 |}
O F2 x
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，F1
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直
角坐标系Oxy(如图).
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a<c)．
AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的
轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
人教版高中数学选择性必修《双曲线的简单几何性质》PPT课件
（1）范围
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
《双曲线》_PPT完整版人教版1
94
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
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变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
人教版-双曲线优质课件
M
的直角坐标系
2c800,2a680
A O B x b 2c2 a 24 4 4 0 0
所求的双曲线的方程为
x2
y2
1 ( x 0)
115600 44400
人 教 版 - 双曲 线优质 课件
人 教 版 - 双曲 线优质 课件
问题4： （1）：如果在AB两处同时听到爆炸声， 则爆炸点应在怎样的曲线上？
人 教 版 - 双曲 线优质 课件
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例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
1、a4,c5 焦点在 y 轴上
y2 x2 1 16 9
思考：
要求双曲线的标准 方程需要几个条件
2、焦点为 (5,0),(5,0) 且 b 3
x2 y2 1 16 9
3、a 4 经过点 A (1, 4 1 0 )
定义 方程
焦点 a.b.c的 关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 + a2
y2 a2
+
y2 b2
=
1
x2 b2
=1
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，a,b大小 不确定，c2=a2+b2
作业 : P108 习题 8.3: 1、3、4
思考:
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
人 教 版 - 双曲 线优质 课件
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
一轮复习双曲线ppt(共47张PPT)
3．(2009年全国Ⅰ高考)设双曲线
(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的那一支．
顶 顶点(坐a,0)标，
点 A1
，A2
y≤－a或y≥a
坐标轴
对称轴： 原点 对称中心：
(0，－a)
顶点坐标：A1 (0，a) ， A2
渐近 线
离心 率
e＝，e∈(1，＋∞)
，其中c＝
实虚 轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的 长|2Aa 1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲
2b
线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a 叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲
线的虚半轴长. a、b、
3．等轴双曲线 实轴和虚等轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
离心率e＝ ，渐近线方程为
.
y＝±x
A．k＞5
B．2＜k＜5
C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2或k＞5
【解析】 由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，
解得－2＜k＜2或k＞5.
【答案】 D
课时作业
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(a＞0，b＞0)
(2)可根据(1)中k的范围及|AB|＝6 求出k的值，得到直线AB的方程，再求m的值及C点的坐标，从而可得△ABC的面积．
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．
1．将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？
课件高中数学人教A版选修课件-双曲线及其标准方程PPT课件_优秀版1
确位置.
例5 已知点A(－5，0),B(5，0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
(2)若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
靠近点F2的一支单曲线.
当AB＜0时，表示双曲线.
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
2,3)的双曲
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
线的标准方程. 这是双曲线的一个重要应用.
以F1，F2为端点的两条射线 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 当A＞0，B＞0，A≠B时，表示椭圆； 中，参数a，b，c的几何意义如何？ 在什么条件下，方程Ax2－By2＝1表示双曲线？ 在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
双曲线
的焦点坐标是什么？
当A、B变化时，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？
中，参数a，b，c的几何意义如何？
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准
确位置.
当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线；
因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
2
在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)
练习1：如果方程
−
+
+
= 表示双曲线，
求m的取值范围。
解：由 + + > ，得，m < -2或m > -1
所以m的取值范围为 −∞， − ∪ −， + ∞
练习巩固
练习1追问：如果方程
+
则 m 的取值范围为
−
+
m < -2
= 表示焦点在 y 轴的双曲线时，
故双曲线得标准方程为 2
−
2
3
=1
15
,
3
2),
例题解析
例4：已知A、B两地相距800m，在A地听到爆炸声比在B地晚2s，
且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
解：建立平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，
并且坐标原点与A、B的中点重合
炮弹爆炸点P的坐标为（x，y）
则， − = 340 × 2 = 680，即，2a=680，a=340
−
2
16
=1
例题解析
例3：求满足条件的双曲线的标准方程，
已知焦点在x轴，且过P(- 2,- 3)，Q(
解：双曲线的方程为 2 + 2 = 1( < 0)
因为点A、B在椭圆上
.
2 + 3 = 1
=1
所以 ൝15
解得 ൝ = − 1
+ 2 = 1
3
9
1
3
所以双曲线的方程为 2 − 2 = 1
轨迹不存在
M
F1
F2
课堂探究
生活中案例展示：拉链
课堂探究
焦点在x、y轴上的双曲线的标准方程
−
+
+
= 表示双曲线，
求m的取值范围。
解：由 + + > ，得，m < -2或m > -1
所以m的取值范围为 −∞， − ∪ −， + ∞
练习巩固
练习1追问：如果方程
+
则 m 的取值范围为
−
+
m < -2
= 表示焦点在 y 轴的双曲线时，
故双曲线得标准方程为 2
−
2
3
=1
15
,
3
2),
例题解析
例4：已知A、B两地相距800m，在A地听到爆炸声比在B地晚2s，
且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
解：建立平面直角坐标系，使A、B两点在x轴上，
并且坐标原点与A、B的中点重合
炮弹爆炸点P的坐标为（x，y）
则， − = 340 × 2 = 680，即，2a=680，a=340
−
2
16
=1
例题解析
例3：求满足条件的双曲线的标准方程，
已知焦点在x轴，且过P(- 2,- 3)，Q(
解：双曲线的方程为 2 + 2 = 1( < 0)
因为点A、B在椭圆上
.
2 + 3 = 1
=1
所以 ൝15
解得 ൝ = − 1
+ 2 = 1
3
9
1
3
所以双曲线的方程为 2 − 2 = 1
轨迹不存在
M
F1
F2
课堂探究
生活中案例展示：拉链
课堂探究
焦点在x、y轴上的双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程 课件(人教版)
()D.45
解析：(1)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2| ＝2a＝2 2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝
（4 22）×24＋（2×2 22）2 2－42＝34. 答案：C
解：(1)法一：由题意知双曲线的两焦点为 F1(0，－
3)，F2(0，3)． 设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)， 将点 A(4，－5)代入双曲线方程得2a52－1b62＝1. 又 a2＋b2＝9，解得 a2＝5，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
法二：||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5＝2a，
[迁移探究 2] (变换条件)上例中将条件“|PF1|＝ 2|PF2|”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积是 ________．
解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|
＝2a＝2 2， 由于P→F1·P→F2＝0，所以P→F1⊥P→F2.
所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2. 答案：2
双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
温馨提示 把定常数记为 2a，当 2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，其轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包 括端点)；当 2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．
人教版高三数学一轮复习课件：双曲线及其标准方程(共10张PPT)
1 2
• 思考1：笔尖在运动的过程中，所满足的几 何条件是什么？并将其用数学符号表示出 来。
• 思考2 类比椭圆的定义，对上面式子中的 常数有什么要求吗？为什么？
探究点二 双曲线的标准方程
• 思考1：类比椭圆的标准方程推导过程，思 考怎样求双曲线的பைடு நூலகம்准方程？
• 思考2：如何判断双曲线焦点位置？填写设 计上的表格，并记忆！
同 学 们 再 见 ！
双曲线及标准方程
平面内到两个定点 距离的和为常数的点的 轨迹是椭圆（其中常数 大于两定点距离），那 么如果差为常数的话， 轨迹是什么？
F1
探究点一 双曲线定义
活动设计： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉 开的两边上各选择一点，分别固定在 F , F上， 把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭 笼，笔尖所经过的点可画出一条曲线，观 察曲线形状。
• 四、典例应用 • 例1 （1）已知双曲线两个焦点分别为F1（5,0）F2（5,0），双曲线上一点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方 程。 x y • 求与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 （3，2）的双曲线方程
2 2
• 练习 • 1.平面内有两个定点F1（-5,0）和F2（5，0）， 动点P满足|PF1|-|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是 （ ） • A.x² /16-y² /9=1（x≤-4） B.x² /9-y²/16=1 (x≤-3) • C.x² /16-y² /9=1（x≥4） D.x² /9-y² /16=1 （x≥3） • 2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 （3，-4）和（,5）求双曲线的标准方程。
• 思考1：笔尖在运动的过程中，所满足的几 何条件是什么？并将其用数学符号表示出 来。
• 思考2 类比椭圆的定义，对上面式子中的 常数有什么要求吗？为什么？
探究点二 双曲线的标准方程
• 思考1：类比椭圆的标准方程推导过程，思 考怎样求双曲线的பைடு நூலகம்准方程？
• 思考2：如何判断双曲线焦点位置？填写设 计上的表格，并记忆！
同 学 们 再 见 ！
双曲线及标准方程
平面内到两个定点 距离的和为常数的点的 轨迹是椭圆（其中常数 大于两定点距离），那 么如果差为常数的话， 轨迹是什么？
F1
探究点一 双曲线定义
活动设计： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉 开的两边上各选择一点，分别固定在 F , F上， 把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭 笼，笔尖所经过的点可画出一条曲线，观 察曲线形状。
• 四、典例应用 • 例1 （1）已知双曲线两个焦点分别为F1（5,0）F2（5,0），双曲线上一点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方 程。 x y • 求与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 （3，2）的双曲线方程
2 2
• 练习 • 1.平面内有两个定点F1（-5,0）和F2（5，0）， 动点P满足|PF1|-|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是 （ ） • A.x² /16-y² /9=1（x≤-4） B.x² /9-y²/16=1 (x≤-3) • C.x² /16-y² /9=1（x≥4） D.x² /9-y² /16=1 （x≥3） • 2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 （3，-4）和（,5）求双曲线的标准方程。
3.2双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a 2 b2
12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1
求得m2 12(30舍去)
12 8
法二：设双曲线方程为
x2 y2 1 16 k 4 k
16 k 0且4 k 0
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2)
16 4
例3.根据下列条件，求双曲线方程 : (1)与双曲线 x2 y2 1有共同渐近线, 且过点(3, 2 3);
9 16 解：⑴因为双曲线与 x2 y2 1有共同渐近线,故设双曲线方程为
9 16
x2 y2 ( 0)
可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
1.
4. 求与椭圆 x2 y2 1有共同焦点，渐近线方程为 16 8
x 3 y 0的双曲线方程.
解： 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为F1(2 2,0), F2(2 2,0). 双曲线的焦点在x轴上，且c2 (2 2)2 8.
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
x2 a2
y2 b2
0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0. ab ab
y＝ b x a
结论：
双曲线
x2
人教版双曲线精品PPT推荐1
的
直线交双曲线于 A, B 两点，求 AB ．
问题 2 如何求直线被双曲线所截得的线段的长？
问题 2 如何求直线被双曲线所截得的线段的长？
直线的方程、 联立 双曲线的方程
计算 |AB|
二元二次 方程组
A，B
消元 计算
一元二次 方程
求 解
x1，x2
追问 1 本题中，怎样表示直线 AB ？
例1
如图，过双曲线 x2 3
追问 5 如何求线段 AB 中点的坐标？ 设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，线段 AB 的中点 M (x0 , y0 ) ， 则 x1, x2 是方程 5x2 6x 27 0 的两根，
追问 5 如何求线段 AB 中点的坐标？
设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，线段 AB 的中点 M (x0 , y0 ) ，
3
将直线的方程与双曲线的方程联立，得
y x2
3
3 y2 6
(x
3), 1.
消去 y ，整理，得 5x2 6x 27 0 ．
解方程，得
x1
3 ，
x2
9 5
．
追问 2 怎样求直线与双曲线的两交点 A, B ？
将直线的方程与双曲线的方程联立，得
y x2 3
3 3 y2 6
(x
追问 1 具体来说，如何利用一元二次方程根的判别式判断直 线与椭圆的位置关系？
设直线 l：Ax＋By＋C＝0，椭圆 C： x2 y2 1 ， a2 b2
Ax By C 0,
由
x2
a2
y2 b2
1
消去 y，得 Mx2＋Nx＋P＝0．
记一元二次方程 Mx2＋Nx＋P＝0 根的判别式为 Δ，则
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y
B2
F1 A1 0
请思考：结论正确吗?
B1
A2 F2
x
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八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一个方案：
1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；
2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所
在的直线逐渐接近且不相交呢？
Ybx a
y
N(x,Y)
Q•
•M(x,y)
y
b
x2 a2
a
b a
x
1
a x
2
0
x
b a
x
Y
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MNYy b (x x 2 a 2 )
a
b
(x
x2 a2 )(x
x2 a2 )
y
a
(x x2 a2 )
ab
( x x2 a2 )
N(x,Y) Q•
双曲线的几何性质
陈爱民
x2 y2 1 a2 b2
一、知识再现
前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 几何性质的具体内容及其研究方法.
椭圆
标准方程 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
y
几何 图形
B2 A1 F1 F2
•M(x,y)
0
x
在该式子中x (x≥a)逐渐增大时， |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| ＜|MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等
于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩
形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在 其它象限内，我们可类似证明.
离心率e定 焦距与长轴长的比 e=c/a
义
0<e<1
二、想一想？
我们能否用研究椭圆的几何性质的 方法来研究双曲线的几何性质呢？
椭圆
双曲线
标准方程
几何 图形
范围 对称性
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
y
B2 A1 F1 F2
0
A2 x
B1
x2 /a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
0
A2 x
如何得到的？
范围
B1 |x |≤a 、|y |≤ b
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x
对称性
中心对称，轴对称
-x代x、-y代y
顶点
a、b、c的 含义
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
分别令x=0，y=0
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2
（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？ 我们可用方程的思想解决：
|MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.
y
N(x,Y)
Q•
•
M(x,y)
L
b
0a
x
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（二）、我们来证明
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部
分的方程可写为
yb x2a2(xa ) a
b （虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与长轴长的比 e=c/a 焦距与实轴长的比 e=c/a
0<e<1
e>1
三、请思考？
我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几 何性质，那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性 质又如何呢？
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标准方程 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
x=-ay
B2 F1 A1 0
a
A2 F2
x
x ≥a 或 x ≤ -a B1
-x代x、-y代y
中心对称，轴对称
顶点 a,b,c的含义
离心率e 的定义
分别令x=0，y=0 A1(-a,0 ) 、A2(a,0)
a (长半轴长) c（半焦距长） a （实半轴长）c （半焦距长）
b（短半轴长) a2=b2+c2
四、让我们来讨论
双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点，你认为对吗？讨论并给出答案.
y
B2
F1 A1 0
A2 F2
x
B1
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五、让我们共同分析
例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和 虚半轴长、焦点坐标、离心率. 分析：
①化为标准方程： y2/16-x2/9=1 ②确定焦点位置：在y轴上 ③找出a、b的值：a=4,b=3 ④代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 ⑤写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.
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六、练一练
求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.
(1)x2-4y2=16
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思考：如若求半焦距长和离心率呢？
x=-ay
x=a
几何 图形
B2 F1 A1 0
B1
A2 F2
x
范围 对称性
x ≥ a 或 x ≤ -a 中心对称，轴对称
y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)
y
F1
y=a
A2
B1 o A1 B2
x
y=-a
F2
y ≥ a 或 y ≤ -a
中心对称，轴对称
顶点
A1(- a, 0) , A2(a, 0)
小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长， 然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长 及离心率.
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七、让我们继续研究
请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)的各支向外延伸 时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.
（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过 M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说 明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.
（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？
为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交 矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我 们需证明N点在M点上方，即证y ＜ Y.又 |MQ| ＜ |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且 不等于0即可.
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a、b、c 的含义
a （实半轴长） c（半焦距长） a（实半轴长） c（半焦距长）
b （虚半轴长） a2=c2-b2
b（虚半轴长） a2=c2-b2
离心率e 焦距与实轴长的比 e=c/a
e>1
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
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