第8讲 置换群

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题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元 为偶数阶群， 阶元. 证 若∀x∈G，|x|>2，则 x≠x-1 ∈ ， ， ≠ 由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 阶的元素成对出现， 由于 有偶数个. 有偶数个 G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个 由于 1 阶元只有 阶元也有偶数个.由于 单位元， 阶元有奇数个，从而命题得证. 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证 分析：|x|=|x-1|, 分析： x2=e ⇔ x=x-1
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对称群、置换群、 对称群、置换群、交错群
令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元 交错群An.
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3元对称群
例 3元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交错群A3={(1),(123),(132)}
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(a * a = b) (结合律) (a * a = b)
(2)证明: 由于V中只有a, b 两个元素， 故分a * b = a 和a * b = b 两种情况讨
°2 若a * b = b，则：
b * b = (a * a) * b = a * (a * b) =a*b (a * a = b) (结合律) (a * b = b)
作业
P204，29-31
29
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置换群子群
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1),(13),(24), (12)(34),(1ຫໍສະໝຸດ Baidu)(24),(14)(23), (1234),(1432)}
1 4 2 3
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置换群子群
D′4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D′4={(1),(12),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1324),(1423)}
6
奇置换、 奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因 此各有n!/2个
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置换的乘法与求逆
置换的乘法： 置换的乘法：函数的复合 例 如 ： 8 元 置 换 σ =(132)(5648) ， τ=(18246573), 则 τσ=(15728)(3)(4)(6)=(15728) τσ 置换求逆： 置换求逆：求反函数 σ=(132)(5648)，σ-1=(8465)(231), ，
循环群
定义10.7:设G是群，若在G中存在一 个元素a，使得G中的任意元素都是 a的幂，则称该群为循环群，元素a 为循环群G的生成元。记G =<a>. 任何一个循环群必为阿贝尔群
1
置换
定义：设A是一个非空有限集合，从集合 A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变 换 置换的表示法：令A={ 1, 2, …, n },
∑m
c(σ )
/|G|
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其中c(σ 是置换 的循环节(轮换个数 是置换σ 轮换个数)。 其中 σ)是置换σ的循环节 轮换个数 。
Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 Calay定理： 定理 同构
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题例分析
EX5 (1)a * b = a * (a * a)
= (a * a) * a =b*a 论。 °1 若a * b = a，则： b * b = (a * a) * b = a * (a * b) =a*a =b (a * a = b) (结合律) (a * b = a) (a * a = b)
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4元对称群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234) ,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143 2)}
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题例分析
阶元， 例 1 若群 G 中只有唯一 2 阶元，则这 中所有元素可交换。 个元素与 G 中所有元素可交换。 证 设 2 阶元为 x, ∀y∈G, ∈ |yxy-1|=|x|=2 ⇒ yxy-1 =x ⇒ yx =xy 分析： 分析： |yxy-1|=|x|
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题例分析
为有限群， ∈ 阶元， ≠ 例 2 设 G 为有限群，x,y∈G, y 为 2 阶元，x≠e, 且 x2y=yx, 求|x| 解： x2y=yx ⇒ yx2y=x ⇒ (yx2y)(yx2y)=x2 ⇒ yx4y=x2 =yxy ⇒ x4=x ⇒ x3=e ⇒ |x|=3 的等式. 分析： 分析： 关键是导出关于 xk=e 的等式 根据 xk=e ⇔ |x| | k， ， 使用幂运算规则 结合律，消去律， 使用幂运算规则, 结合律，消去律，|x|=2 ⇔ x=x-1,28 幂运算规则
2 3 ...... n 1 σ (1) σ (2) σ (3) ......σ (n)
2
置换的表示法2
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
(132)(5648)
3
n元置换的轮换表示 元置换的轮换表示
性质： 任何n元置换都可以表成不交的 性质： 任何 元置换都可以表成不交的 轮换之积，并且表法是唯一的. 轮换之积，并且表法是唯一的 σ=σ1σ2…σt σ σ σ=τ1τ2…τl τ τ {σ1,σ2,…,σt} σ σ σ ={τ1,τ2,…,τl } τ τ τ
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置换群中元素的阶
元素的阶 k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为k σ=τ1τ2…τl 是不交轮换的分解式，则 |σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]
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4元对称群
2阶元：(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3阶元：(123),(132),(124),(142),(134), (143),(234),(243), 4阶元：(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)
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题例分析
EX19 设 G 为 非 Abel 群 ， 证明 G 中存在非单位元 a,b,a≠b,且 ab =ba。 ≠ 且 。 证 G 中一定含有阶数大于 2 的元素 a,否则由 EX15 知 G 否则由 为交换群（矛盾） 。 为交换群（矛盾） 考虑 b=aa,则 a≠b（否则 a 是幂等 则 ≠ （ 元从而是单位元， ）,显然 元从而是单位元，阶为 1（矛盾） 显然 ab =ba。 （矛盾） ） 。 分析： 分析： aa2=a2a 幂运算规则
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置换群子群
{(1)}, S n， n 元交错群An 2元子群 元子群,…… 元子群
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置换群子群
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 子群6 个 <(1)>, S3, <(12)>, <(13)>,<(23)>, A3=<(123)>
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置换群子群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234) ,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143 2)}
题例分析
EX12 （x,n）=1 iff 存在整数a,b 使得ax+bn=1
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题例分析
EX15 设 G 为群，若∀x∈G x2 =e, 则 G 为 Abel 群。 为群， ∈ 证 ∀x,y∈G, ∈ 分析： 分析： xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx x2=e ⇔ x=x-1 幂运算规则
1 4 3 2
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置换群子群
{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23)} Klein四元群
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着色问题应用
Polya定理： 是一个n个对象的置换群 Polya定理：设G是一个 个对象的置换群， 定理 是一个 个对象的置换群， 种颜色对n个对象进行染色 用m种颜色对 个对象进行染色，当一种方 种颜色对 个对象进行染色， 案在群G的作用下变为另外一种方案 的作用下变为另外一种方案， 案在群 的作用下变为另外一种方案，那么 我们这个时候就认为这两个方案是一样的。 我们这个时候就认为这两个方案是一样的。 那么在这种规定下不同的染色方案数为： 那么在这种规定下不同的染色方案数为：
⇒
4
置换的表示法3
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5
(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58)
5
n元置换的对换表示 元置换的对换表示
任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交 表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不 变
1 2 3 4 5 6 7 8 5 2 3 8 7 6 1 4 = (1 5 7) (4 8) = (15)(17)(48) = (17)(57)(48)