弹性力学概念整理—BY傅国强

弹性力学

总结BY 傅国强

弹性力学：是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变化等原因而发生的应力、形变和位移。

弹性力学的研究方法是：在弹性体区域内必须严格地考虑静力学（微分体平衡条件）、几何学（形变和位移之间的几何关系）和物理学（应力和形变之间的关系）三方面的条件，在边界上必须严格地考虑受力条件和约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解。（不同于材料力学采用了平截面假定简化了几何条件，只适用于杆状构件）

外力：是指其他物体对研究对象的作用力，分为体积力和表面力，也分别成为体力（分布在物体体积内的力，N/M3）和面力（分布在物体表面的力，N/M2）。

内力：是物体收到外力作用以后物体内部不同部分之间相互作用的力，内力的平均集度即平均应力，

正面和负面：凡外法线沿坐标轴正方向的，称为正面，凡外法线沿坐标轴负方向的，称为负面。

切应力互等性：作用在两个相互垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号一致）。

形变：即形状的改变，可以用其各部分的长度和角度表示。

线应变：单位伸缩或相对伸缩，伸长为正。

切应变：各线段之间的直角改变量，直角变小为正。

位移：即位置的移动，沿坐标轴正方向为正。

弹性力学的基本假定：1)连续性，假定物体介质所填满，不留下任何空隙，是连续的，这表示应力、形变、位移等是连续的，可用坐标的连续函数表示其变化规律；2）完全弹性，假定物体在引起形变的外力去除之后能够完全恢复原形而没有任何残余变形，这表示形变和应力是呈线性关系的；3）均匀性，假定整个物体由同一材料组成的，这表示物体的弹性不随坐标改变而变化；4）各向同性，假定物体的弹性在所有各个方向都相同，这表示物体的弹性常数不随方向而改变；满足以上四个条件的就是理想弹性体5）位移和形变是微小的，假定物体受力后各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，且应变和转角远小于1，主要是为了：1.可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸、2.转角和应变的二阶量可以忽略不计，仅保留一次项、3.几何方程和平衡微分方程可以简化为线性方程，应用叠加原理。

平面应力问题：即只有平面应力分量（）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题平面应变问题：即只有平面应变分量（）存在，且仅为x、y的函数的弹性力学问题平衡微分方程：推导时候采用了连续性和小变形的基本假定。

几何方程：推导采用了连续性和小变形的基本假定，其位移分量完全确定时候形变分量也就完全确定了，当时形变分量完全确定时候位移分量却不能完全确定，即存在与形变无关的刚体位移。

物理方程：推导时候采用了连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形的基本假定，由平面应力通过转换：可以得到平面应变

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

圣维南原理：1）目的：因弹性力学问题的应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程以及边界上的边界条件，往往会遇到很大的困难，圣维南原理可以简化局部边界上的应力边界条件；2）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布会显著变化但是远处所受的影响忽略不计；3）注意，圣维南原理只能运用在一小部分边界上（局部边界、次要边界），在主边界上不能用圣维南原理。

位移求解平面问题：以位移分量为基本位置函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和边界条件从而求解；需满足平衡微分方程、位移边界条件、应力边界条件。

应力求解平面问题：以应力分量为基本位置函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件从而求解（通常只求解全部为应力边界条件的问题）；需满足平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、（位移单值条件）。

相容方程的物理意义：即连续体变形是满足几何方程的（各形变分量是互相相关的），并由此可以推出相容方程。

在常体力作用下，用应力求解平面问题所得的应力分量与弹性模量无关，即有如下结论：1.对于不同的材料，应力分量的解答相同，实验时可以采用不同材料模型代替、2.对于两类平面问题，应力分量解答相同，理论解可以通用，可用平面应力代替平面应变实验从而简化条件。

在常体力作用下，弹性力学平面问题存在一个应力函数（利用微分方程求导顺序理论通过平衡微分方程推导出来），按应力求解平面问题时候可以归纳为求解一个应力函数，其必

须满足：1.相容方程、2.应力边界条件、3.位移单值条件。（无须满足平衡微分方程）逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力函数，求得应力分量，在由应力边界条件和弹性体边界形状求得边界上的面力，从而得知该函数可以解决的问题。

半逆解法：针对要解决的问题先假定部分应力函数，再由应力推得应力函数形式，代入相容方程，得出应力函数具体表达式，再求解相应的应力分量，考察这些分量是否满足全部边界条件。

一次线性应力函数对应无体力、无面力、无应力的状态，且在平面问题应力函数中加减一个线性函数不影响应力。（次数达到4次及以上时候应力函数的系数才要求必须满足一定条件才可以满足相容方程）

极坐标中按应力求解平面问题也可以归纳为求解一个应力函数的问题，它必须满足：1.区域内的相容方程、2.边界上的应力边界条件、3.位移单值条件。

轴对称：1）产生轴对称条件：弹性体的形状和应力边界条件必须轴对称，若位移边界条件也是轴对称则位移也是轴对称；2）含义：即物体的形状或某一物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面，其应力分量仅为ρ的函数，不随φ变化，切应力为0。

圆环或圆筒受均布压力时，当R（外半径）趋于无穷大时候，即在ρ远大于r（内半径）之外的应力是很小的，这验证了圣维南原理。

压力隧洞：即圆筒埋置在无限大弹性体中，受到有均布压力q，因圆筒和无限大弹性体的E、u不同，不符合均匀性的假定，应分别用不同的应力函数进行表示，还应考虑交界面的接触条件，这种问题称为接触问题。

接触问题：1）一般的接触问题，假定弹性体在接触面完全接触，即既不脱离也不滑动，相应的条件是，两弹性体在接触面正应力相等，切应力相等，法向位移相等，切向位移也相等；2）光滑接触，在接触面上，两个弹性体切应力为零，正应力相等，法向位移也相等（由于滑动切向位移不相等）；

孔口应力集中：（指小孔口问题，即孔口尺寸远小于弹性体尺寸，孔边距弹性体的边界较远）即由于开孔，在孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力；原因是由于开孔后发生的应力扰动所引起的；孔口应力集中具有局部性，一般孔口应力集中区域约在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内；问题可以转换为内半径r而外半径R的圆环或圆筒，在外边界上受均布拉力或压力q，内边界上不受力的问题，通过叠加来满足相应的边界条件；应力在孔边达到均匀拉力的3倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q；小孔口应力现象具有的特点：1.集中性，孔口附近的应力远大于较远处的应力、2.局部性，由于开孔造

成的应力扰动主要发生在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内、3.孔口应力集中与孔口的形状有关，一般圆孔的应力集中程度较低，避免出现尖角孔口。

差分法：是微分方程一中近似数值解法，并非求解函数的解答而是去求出函数在一些网格节点上的数值，将微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件近似地改用差分方程来表示，将求解微分方程改换为求解代数方程的问题。

变分法：主要研究泛函（即以函数为自变量的一类函数）及其极值的求解方法，弹性力学中研究的泛函则是研究弹性体的能量（如形变势能、外力势能）；形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，完全取决于应力及形变的最终大小；弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量；弹性体的总势能等于弹性体的形变势能和外力势能之和。

位移变分方程：理论基础是虚位移原理；形变势能的增加应当等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，由此可得到位移变分方程形式；极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在一组位移使得总势能成为极值，但由于二阶微分总是大于0，所以该值是极小值；虚功方程：表示如果在虚位移发生之前，弹性体出于平衡状态，那么，在虚位移的过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在虚应变上所做的虚功；位移变分方程、极小势能原理、虚功方程本质都是一样的，均是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒原理的具体应用，只是表达方式不同；位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。

有限单元法：将连续体变换成为离散化的结构，然后再用结构力学解法进行求解的一种方法；三角形单元中为使得面积不出现负数，i、j、m的次序必须是逆时针。

有限单元法中的位移模式必须能够恰当地反应弹性体的真实位移状态，即：1）位移模式必须能反应单元的刚体位移、2）位移模式必须能够反映单元的常量应变、3）位移模式应当尽可能地反映位移的连续性；1）+2）是必要条件，1）+2）+3）是充分条件。

单元刚度矩阵：反映单元上的节点力和节点位移之间的关系。

计算成果的整理：1）绕点平均法，环绕某一节点的各单元中的常量应力加以平均、2）二单元平均法，两个相邻单元中的常量应力加以平均。