对坐标曲线积分例题与习题
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1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿 所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k ) Δ xk Q(k , k ) Δ yk
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3) “近似和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n
4) “取极限”
W lim P (ξk , ηk )Δ xk Q(ξk , ηk )Δ yk
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F ( k , k )
L A
M x kk 1
M y kk
B
x
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2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
P( k , k )xk Q( k , k ) yk 0
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
n k 1
n
称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分.
Q( k , k ) yk , L Q( x, y)d y lim 0
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
在有向光滑弧 L 上有定义且 x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有 定理:
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
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2 其中 L 为沿抛物线 x y d x , y x 从点 例1. 计算L A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段. B ( 1, 1 ) y 解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB y x AO : y x , x : 1 0 x O y x OB : y x , x : 0 1 A(1,1) x yd x x yd x x yd x
L
AO
OB
2 x
解法2 取 y 为参数, 则
0
1 3
2
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
L 1
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1
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则
L y
2
dx
π 2 2 a sin t 0
(a sin t )d t
3
2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则
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其中L为 例3. 计算 (1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1; (2) 抛物线 (3) 有向折线 L : OA AB .
y
B ( 1, 1 )
2 2
x y
yx
4
1 0 1 3 x dx 0
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
2 4 ( (2) 原式 2 y y 2 y y )d y
(3) 原式
0 dy
0
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1
例4. 设在力场 沿 移动到
作用下, 质点由 z 其中 为
B
O
试求力场对质点所作的功.
解: (1)
A x
y
2π 0
( R k t ) d t
2
2
(2) 的参数方程为
AB
yd x xd y zd z
2πk 0
t dt
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3. 计算 x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k ) Δ xk Q(k , k ) Δ yk
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3) “近似和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n
4) “取极限”
W lim P (ξk , ηk )Δ xk Q(ξk , ηk )Δ yk
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F ( k , k )
L A
M x kk 1
M y kk
B
x
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2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
P( k , k )xk Q( k , k ) yk 0
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
n k 1
n
称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分.
Q( k , k ) yk , L Q( x, y)d y lim 0
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
在有向光滑弧 L 上有定义且 x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有 定理:
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
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2 其中 L 为沿抛物线 x y d x , y x 从点 例1. 计算L A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段. B ( 1, 1 ) y 解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB y x AO : y x , x : 1 0 x O y x OB : y x , x : 0 1 A(1,1) x yd x x yd x x yd x
L
AO
OB
2 x
解法2 取 y 为参数, 则
0
1 3
2
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
L 1
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1
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则
L y
2
dx
π 2 2 a sin t 0
(a sin t )d t
3
2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则
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其中L为 例3. 计算 (1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1; (2) 抛物线 (3) 有向折线 L : OA AB .
y
B ( 1, 1 )
2 2
x y
yx
4
1 0 1 3 x dx 0
A(1, 0 ) x
解: (1) 原式
2 4 ( (2) 原式 2 y y 2 y y )d y
(3) 原式
0 dy
0
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1
例4. 设在力场 沿 移动到
作用下, 质点由 z 其中 为
B
O
试求力场对质点所作的功.
解: (1)
A x
y
2π 0
( R k t ) d t
2
2
(2) 的参数方程为
AB
yd x xd y zd z
2πk 0
t dt
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3. 计算 x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )