三角函数地性质求解全参数问题
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应用三角函数的性质求解参数问题
知识拓展 1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性
若f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0),则
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π
2+k π(k ∈Z);
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).
3.由y =sin ωx 到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φ
ω个单位长度而非φ个单位长度.
4.函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴由ωx +φ=k π+π
2,k ∈Z 确定;对称中心由ωx +φ=k π,k ∈Z
确定其横坐标. 题型分析
(一) 与函数最值相关的问题
【例1】已知函数2()2cos 2
f x x x m =
--. (1)求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间;
(2)若53,244x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时,函数()f x 的最大值为0,数m 的值. 【分析】(1)()f x 化为1sin(2)62x m π
-
--,可得周期22
T π
π==,由2222
6
2k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+可得单调递增区间;
(2)因为53,244x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦,所以42,643x π
ππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣⎦,进而()f x 的最大值为1102m --=,解得12
m =.
(2)因为53,244x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大
值0, 即1102m --
=,解得1
2
m =. 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为:化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y =A sin(ωx +φ)+B 的最值;或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.
【小试牛刀】【省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程22sin sin 0x x m +-=在
[)0,2π上有且只有两解,则实数m 的取值围_____.
【答案】()11,38⎧⎫
⋃-⎨⎬⎩⎭
【解析】[]2
2
11
22,sin 1,148
m t t t t x ⎛⎫=+=+-=∈- ⎪⎝⎭
所以当(]11,38
m m =-∈或时, y m = 与2
2y t t =+ 只有一个交点,
当3m =时1t =,方程2
2sin sin 0x x m +-=只有一解
所以要使方程22sin sin 0x x m +-=在[
)0,2π上有且只有两解,实数m 的取值围
()11,38⎧⎫
⋃-
⎨⎬⎩⎭
(二) 根据函数单调性求参数取值围
如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的围或最值,进而求出参数的围即可.
【例2】已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π
2,π上单调递减,则ω的取值围是________. 【分析】根据y =sin x 在⎝⎛⎭⎫
π2,3π2上递减,列出关于ω的不等式组 【解析】 由π2<x <π,ω>0得,ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4,
又y =sin x 在⎝⎛⎭⎫π2,3π
2上递减,所以⎩⎨⎧
ωπ2+π4≥π
2,ωπ+π4≤3π
2,解得12≤ω≤54
.
【答案】⎣⎡⎦⎤
12,54
【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;求形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错;已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
【小试牛刀】【市、市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]
0,2π上单调递增,则实数ω的取值围是________. 【答案】10,4
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】由题意得][0,0,2,22x ππωωωπ⎡⎤
>∈⊂-⎢⎥⎣
⎦ ,所以1
02024
πωπω<≤⇒<≤ 5.
(三) 根据函数图象的对称性求参数取值围 【例
3】已知函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3
f x x x x x π
=+
+-.
(1)若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,求a 的最小值; (2)若存在05[0,
],12
x π
∈使0()20mf x -=成立,数m 的取值围. 【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为
)3
2sin(2)(π
+
=x x f ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可;
(2)根据05[0,
],12
x π
∈的围求出320π+x 的围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从
而可求出=000
21
()20()sin(2)
3
mf x m f x x π-=⇒==
+的取值围. (2)000
21
()20()sin(2)3
mf x m f x x π-=⇒=
=+
0057[0,],212336x x ππππ
∈≤+≤
01sin(2)123
x π
∴-≤+≤
故(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞.
【点评】对于函数y =A sin(ωx +φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x =x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断.
【小试牛刀】【2018届省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】
8
π